3．1 交集与并集
课时目标 1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
1．一般地，由________________________的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集，记作________(读作“A交B”)，即A∩B＝________________.
2．一般地，由属于________________的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集，记作______(读作“A并B”)，即A∪B＝________________.
3．A∩A＝____，A∪A＝____，A∩?＝____，A∪?＝____.
4．若A?B，则A∩B＝____，A∪B＝____.
5．A∩B____A，A∩B____B，A____A∪B，
A∩B____A∪B.
一、选择题
1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{1,2} D．{0}
2．集合A＝{x－1≤x≤2}，B＝{xx<1}，则A∩B等于( )
A．{xx<1} B．{x－1≤x≤2}
C．{x－1≤x≤1} D．{x－1≤x<1}
3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是( )
A．A?B B．B?C
C．A∩B＝C D．B∪C＝A
4．已知集合M＝{(x，y)x＋y＝2}，N＝{(x，y)x－y＝4}，那么集合M∩N为( )
A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
5．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则( )
A．N∈M B．M∪N＝M
C．M∩N＝M D．M>N
题 号123456
答 案
二、填空题
7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.
8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
9．设集合A＝{x－1≤x≤2}，B＝{x－1
10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}， C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝?.求p，q的值．
11．设集合A＝{－2}，B＝{xax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
能力提升
12．定义集合运算：A*B＝{zz＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为( )
A．0 B．2
C．3 D．6
13．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．
1．对并集、交集概念全方面的感悟
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．
“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
拓展 交集与并集的运算性质，除了教材中介绍的以外，还有A?B?A∪B＝B，A?B?A∩B＝A.这种转化在做题时体现了化归与转化的思想方法，十分有效．
§3 集合的基本运算
3．1 交集与并集
知识梳理
1．既属于集合A又属于集合B A∩B {xx∈A，且x∈B}
2．集合A或属于集合B A∪B {xx∈A，或x∈B}
3．A A ? A 4.A B 5.? ? ? ?
作业设计
1．A
2．D [由交集定义得{x－1≤x≤2}∩{xx<1}＝{x－1≤x<1}．]
3．D [参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A＝B∪C.]
4．D [M、N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中元素也是点，解x＋y＝2，x－y＝4，得x＝3，y＝－1.]
5．B [由已知得M＝{2,3}或{1,2,3}，共2个．]
6．B [∵N M，∴M∪N＝M.]
7．0或1
解析 由A∪B＝A知B?A，
∴t2－t＋1＝－3，①
或t2－t＋1＝0，②
或t2－t＋1＝1.③
①无解；②无解；③t＝0或t＝1.
8．1
解析 ∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.
9．－1 2
解析 ∵B∪C＝{x－3
由题意{xa≤x≤b}＝{x－1≤x≤2}，
∴a＝－1，b＝2.
10．解 由A∩C＝A，A∩B＝?，可得：A＝{1,3}，
即方程x2＋px＋q＝0的两个实根为1,3.
∴1＋3＝－p1×3＝q，∴p＝－4q＝3.
11．解 ∵A∩B＝B，∴B?A.
∵A＝{－2}≠?，∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠?时，此时a≠0，则B＝{－1a}，
∴－1a∈A，即有－1a＝－2，得a＝12.
综上，得a＝0或a＝12.
12．D [x的取值为1,2，y的取值为0,2，
∵z＝xy，∴z的取值为0,2,4，所以2＋4＝6，故选D.]
13．解 符合条件的理想配集有
①M＝{1,3}，N＝{1,3}．
②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．
③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．
共3个．
3．2 全集与补集
课时目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.2.熟练掌握集合的基本运算．
1．在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的______，这个给定的集合叫作全集，常用符号____表示．全集含有我们所要研究的这些集合的______元素．
2．设U是全集，A是U的一个子集(即______)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的______(或______)，记作______，即?UA＝___________________.
3．补集与全集的性质
(1)?UU＝______；(2)?U?＝____；(3)?U(?UA)＝____；
(4)A∪(?UA)＝____；(5)A∩(?UA)＝____.
一、选择题
1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则?UA等于( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
2．已知全集U＝R，集合M＝{xx2－4≤0}，则?UM等于( )
A．{x－2
3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∩(?UB)等于( )
A．{2} B．{2,3} C．{3} D．{1,3}
4．设全集U和集合A、B、P满足A＝?UB，B＝?UP，则A与P的关系是( )
A．A＝?UP B．A＝P
C．A P D．A P
5．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩(?IS) D．(M∩P)∪(?IS)
6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( )
A．A∪B B．A∩B
C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
题 号123456
答 案
二、填空题
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈Ux2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
8．设全集U＝{xx<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则?UA＝________，?UB＝______，?BA＝________.
9．已知全集U，A B，则?UA与?UB的关系是____________________．
三、解答题
10．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，?UA＝{5}，求实数a，b的值．
11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(?UB)＝A，求?UB.
能力提升
12．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，则A等于( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？
1．全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．
(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(3)?UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A?U；其次是定义?UA＝{xx∈U，且x?A}，补集是集合间的运算关系．
2．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.
3．2 全集与补集
知识梳理
1．子集 U 全部 2.A?U 补集 余集 ?UA {xx∈U，且x?A}
3．(1)? (2)U (3)A (4)U (5)?
作业设计
1．D [在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成?UA.]
2．C [∵M＝{x－2≤x≤2}，
∴?UM＝{xx<－2或x>2}．]
3．D [由B＝{2,5}，知?UB＝{1,3,4}．
A∩(?UB)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]
4．B [由A＝?UB，得?UA＝B.
又∵B＝?UP，∴?UP＝?UA.
即P＝A，故选B.]
5．C [依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a∈?IS，所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(?IS)，故选C.]
6．D [由A∪B＝{1,3,4,5,6}，得?U(A∪B)＝{2,7}，故选D.]
7．－3
解析 ∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.
8．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5}
解析 由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得?UA＝{0,1,3,5,7,8}，?UB＝{7,8}，?BA＝{0,1,3,5}．
9．(?UB) (?UA)
解析 画Venn图，观察可知(?UB) (?UA)．
10．解 ∵?UA＝{5}，∴5∈U且5?A.
又b∈A，∴b∈U，由此得a2＋2a－3＝5，b＝3.
解得a＝2，b＝3或a＝－4，b＝3经检验都符合题意．
11．解 因为B∪(?UB)＝A，
所以B?A，U＝A，因而x2＝3或x2＝x.
①若x2＝3，则x＝±3.
当x＝3时，A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，3}，
此时?UB＝{3}；
当x＝－3时，A＝{1,3，－3}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－3}，
此时?UB＝{－3}．
②若x2＝x，则x＝0或x＝1.
当x＝1时，A中元素x与1相同，B中元素x2与1也相同，不符合元素的互异性，故x≠1；
当x＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，U＝A＝{1,3,0}，
从而?UB＝{3}．
综上所述，?UB＝{3}或{－3}或{3}．
12．D [借助于Venn图解，因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又因为(?UB)∩A＝{9}，所以9∈A，故选D.]
13.
解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a，b，x.
根据题意有a＋x＝20，b＋x＝11，a＋b＋x＝30－4.
解得x＝5，即两项都参加的有5人．
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