江苏省南菁高级中学2011-2012学年度高一第二学期暑假作业
不等式
一 题
1.若 的最小值为
2.已知 ，则 的最小值是2
3.已知下列四个结论：
①若 则 ； ②若 ,则 ；
③若 则 ； ④若 则 。
其中正确的是④
4.已知不等式 对任意正实数 恒成立，则正实数 的最小值为6
5.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：
x-3-2-101234
y60-4-6-6-406
则不等式ax2+bx+c>0的解集是
6.若关于x的不等式 的解集为R，则 的取值范围是
7.不等式 解集为 ，则ab值分别为-12，-2
8.若函数f(x) = 的定义域为R，则 的取值范围为
9.不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 的取值范围是
10.已知点P（x，y）在不等式组 表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值范围是 h
11. 如果函数 的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数a的取值范围是____ a<-1____
12. 设 ，函数 ，则使 的 的取值范围是
13.函数 在区间 上恒为正，则 的取值范围是 0＜a＜2
14.对于0≤≤4的，不等式x2+x＞4x+－3恒成立，则x的取值范围是x＞3或x＜－1
二．解答题
15.解关于ｘ的不等式
分析：本题可以转化为含参的一元二次不等式，要注意分类讨论.
解:原不等式等价于 ∵ ∴等价于：
（*）
a>１时，（*）式等价于 >0∵ <１∴x< 或x>２
a<１时，（*）式等价于 <0由２－ ＝ 知：
当0<a<１时， >２，∴２<x< ；
当a<0时， <２，∴ <x<２；
当a＝0时，当 ＝２，∴x∈φ
综上所述可知：当a<0时，原不等式的解集为（ ，2）；当a＝0时，原不等式的解集为φ；当0<a<１时，原不等式的解集为（2， ）；当a>１时，原不等式的解集为（－∞， ）∪（2，＋∞）。
思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.
16.画出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值和最小值.
分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值
解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域
直线AB的方程为x+2y－1=0，BC及CA的直线方程分别为x－y+2=0，2x+y－5=0
在△ABC内取一点P（1，1），分别代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5
得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0。因此所求区域的不等式组为
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0
作平行于直线3x－2y=0的直线系3x－2y=t（t为参数），即平移直线y= x，观察图形可知：当直线y= x－ t过A（3，－1）时，纵截距－ t最小 此时t最大，tax=3×3－2×（－1）=11；当直线y= x－ t经过点B（－1，1）时，纵截距－ t最大，此时t有最小值为tin= 3×（－1）－2×1=－5
因此，函数z=3x－2y在约束条件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值为11，最小值为－5
17.已知是关于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.
解：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由 适合不等式故得 ，所以 ，或 .
若 ，则 ，∴ ，
此时不等式的解集是 ；
若 ，由 ，∴ ，
此时不等式的解集是 。
18. 已知集合 ，函数 的定义域为Q
（1）若 ，求实数a的取值范围。
（2）若方程 在 内有解，求实数a的取值范围。
分析：问题（1）可转化为 在 内有有解；从而和问题（2）是同一类型的问题，既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数.
解：（1）若 ， 在 内有有解
令 当 时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
（2）方程 在 内有解， 则 在 内有解。
当 时，
所以 时， 在 内有解。点拨：本题用的是参数分离的思想.
19.甲、乙两地相距 ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过 ，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 的平方成正比，且比例系数为 ；固定部分为 元．
（1）把全程运输成本 元表示为速度 的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解
解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为 ，全程运输成本为
．故所求函数为 ，定义域为 ．
（2）由于 都为正数，
故有 ，即 ．
当且仅当 ，即 时上式中等号成立．
若 时，则 时，全程运输成本 最小；
当 ，易证 ，函数 单调递减，即 时， ．
综上可知，为使全程运输成本 最小，
在 时，行驶速度应为 ；
在 时，行驶速度应为 ．
点拨：本题主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．
20. 设 为实数，设函数 的最大值为 。
（Ⅰ）设t＝ ，求 的取值范围，并把 表示为 的函数 .
（Ⅱ）求
（Ⅲ）试求满足 的所有实数 .
分析：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
解：（Ⅰ）令
要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,
∴ t≥0 ①
t的取值范围是 由①得
∴(t)=a( )+t= …………………………………………4分
（Ⅱ）由题意知g(a)即为函数 的最大值。
注意到直线 是抛物线 的对称轴，分以下几种情况讨论。
（1）当a>0时，函数y=(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段，
由 <0知(t)在 上单调递增，∴g(a)=(2)=a+2
(2)当a=0时，(t)=t, ,∴g(a)=2.
(3)当a<0时,函数y=(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，
若 ，即 则
若 ，即 则
若 ，即 则
综上有 ………………………………………………9分
(III)解法一：
情形1：当 时 ，此时 ，
由 ，与a<-2矛盾。
情形2：当 ， 时，此时 ，
解得， 与 矛盾。
情形3：当 时，此时
所以
情形4：当 时， ，此时 ，
矛盾。
情形5：当 时， ，此时g(a)=a+2,
由 解得 矛盾。
情形6：当a>0时， ，此时g(a)=a+2,
由 ，由a>0得a=1.
综上知，满足 的所有实数a为 或a=1…………………14分
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