时量：120分钟 分值：150分
参考公式：球的表面积 ，球的体积 ， 圆锥侧面积
一、：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1.（集合的运算）集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.（函数的概念）下列四个函数中，与 表示同一函数的是（ ）
A. B. C. D.
3.（直线的截距）直线 在 轴上的截距为 ，则（ ）
A. B. C. D.
4.（函数的单调性）下列函数中,在区间 上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
5.（直线平行）已知直线 和直线 ，它们的交点坐标是（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（-1，0） D．（-2，-1）
6.（函数的图像）当 时，在同一坐标系中，函数 与 的图象是（ ）
(A)(B) (C) (D)
7.（异面直线所成的角）在右图的正方体中， 分别为棱 和棱 的中点，则异面直线 和 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
8.（函数的零点）已知函数 的图像是连续不断的，有如下 ， 对应值表：
123456
132.5210.5-7.5611.5-53.76-126.8
函数 在区间 上有零点至少有（ ）
A． 2个 B. 3个 C .4个 D. 5个
9.（球的体积与表面积）已知正方体的内切球（球与正方体的六个面都相切）的体积是 ，那么球的表面积等于（ ）
A． B. C. D.
10.（函数的奇偶性和单调性）若偶函数 在 上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11.（指对数的综合）三个数 的大小关系为（ ）
A. B.
C． D.
12.(函数综合) 对于函数 定义域中任意的 有如下结论
① ②
③ ④
当 时,上述结论中正确的序号是（ ）
A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④
二、题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．请将答案填在答题卡相应位置.
13．（圆的标准方程）已知圆的方程为 ，则圆心坐标为 ，半径为 2 .
14.（三视图）如果一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是
15.（直线的斜率）直线 的斜率是
16.（幂函数）幂函数 的图象过点 ，则 ______
17.（定义域）函数 的定义域为 .
18.（分段函数与解不等式）已知函数 则 的值 ．
19.（函数的奇偶性）已知函数 是定义在上的奇函数，当 时， ，那么 时， .
20.（立体几何的综合）
已知两条不同直线 、，两个不同平面 、 ，给出下列命题：
①若垂直于 内的两条相交直线，则⊥ ；
②若∥ ，则平行于 内的所有直线；
③若 ， 且 ∥ ，则 ∥；
④若 ， ，则 ⊥ ；
其中正确命题的序号是 ①④ ．（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题:本题共有5个小题，8分+10分+10分+10分+12分=50分．
21.(指数与对数的运算)（本题满分8分）计算：
(1) ； (2)
解：（1）原式= …………（4分）
（2）原式= …………………………（8分）
22. (直线方程) （本题满分10分）已知 三个顶点是 ， ，
(1)求 边上的垂直平分线的直线方程；（7分）
（2）求点 到 边所在直线的距离．（3分）
解：（1） ，
，………（2分）
则所求直线的斜率为： ………………………………………（4分）
又 的中点 的坐标为 ，所以 边的上的中垂线所在的直线方程为：
………………………………………………………………………………（7分）
（2）直线 的方程为：
则点 到直线 ： 的距离为： ……………（10分）
23.在三棱柱 中，侧棱垂直于底面，
(1) 求证： ； (2) 求证： ； （3）求三棱锥 的体积.
解：（1）证明：
∵ ， …………（2分）
…
∴ ……………（3分）
（2）证明：在直三棱柱 中 ……………………………（4分）
……………………………（5分）
……………………………………………（6分）
……………………………………………………（7分）
（3） …………………………………………………（8分）
……………………………………（10分）
24. (函数与单调性) （本小题满分10分）
右图是一个二次函数 的图象.
(1)写出这个二次函数的零点；
(2)求这个二次函数的解析式；
(3)当实数 在何范围内变化时， 在区间 上是单调函数．
解：（1）由图可知二次函数的零点为 ………………（2分）
（2）设二次函数为 ,点 在函数上，
解得
所以 ………………………………………………（6分） （3） ，开口向下，对称轴为
当 ，即 时， 在 上递减………………………………（8分）
当 ， 即 时， 在 上递增
综上所述 或 …………………………………………………………………（10分）
注：第(1)小题中若零点写为 ， ，扣1分。
25. (函数的奇偶性) （本小题满分12分）
已知 。
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性，并予以证明；
（3）求使 的 的取值范围。
解：(1) …………………………………………………………………（2分）
所以函数 的定义域为 ………………………………………………………（3分）
(2) 任意取 ，则 ……………………………………………………（4分）
即 …………………………………………………………………（6分）
所以函数 是奇函数．…………………………………………………………………（7分）
(3) 由 ，可得 ，即
…………………………………………………………（9分）
……………………………………………………（11分）
所以 ， ………………………………………（12分）
附加题:
26．从点 处发出一条光线，与直线 相遇于点 后反射，反射光线恰与圆 相切，求线段 的长．
解： 设点 关于直线 对称的点为
则 ，解得 ………………………（3分）
据物理学知识可知反射光线的反向延长线必过 ，……（4分）
所以设直线 的方程为： …………………………………………………………（5分）
则圆心到直线 的距离 …………………………………………………………（7分）
解得 或 (根据题意要舍去) ……………………………………………（8分）
联立直线方程 ，解得 ，
即 的坐标为 ………………………………………………………………（9分）
……………………………（10分）
27.已知四面体的 条棱的长为 ， 条棱的长为 ，求它的体积。
解： 根据分析可知满足题目条件的四面体有两种情况，也就是棱长为 的棱共面和异面
（1）当棱长为 的棱异面时，四面体的图形如右图
……………………………………………………（2分）
经过计算， ，………………………………………（4分）
，所以三角形 并不存在，即这种情况的三棱锥也不存在………………（5分）
（2）当棱长为 的棱共面时，四面体的图形如右图
……………………………………………………（7分）
……………………………………………………（9分）
………………………………………………………（10分）
28．设函数 的定义域关于原点对称，对定义域内任意的 存在 和 ，使 ，且满足：
（1） ；
（2）当 时，
请回答下列问题：（1）判断函数的奇偶性并给出理由；（2）判断 在 上的单调性并给出理由．
解：（1）函数 在定义域内是奇函数………………………………………………………（1分）
因为在定义域内，对任意 存在 和 ，使 ，且满足： ；
由于函数 的定义域关于原点对称， 必与 同时在定义域内，…（2分）
同样存在存在 和 ，使 ，且满足： ，……（3分）
即
………………………………………………………………………………………………（4分）
函数 在定义域内是奇函数. ……………………………………………………………………………（5分）
（2）函数 在 上是单调递增函数……………………………………………………………………（6分）
任意取 ，且 ，则
函数 在定义域内是奇函数，且当 时， ，
， ， …………………………………………………（7分）
又
……………………………………………………………………………………………（9分）
函数 在 上是单调递增的……………………………………………………………………（10分）
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