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本文题目：高二年级数学寒假作业

答 案

1.【解析】 (平方单位)原平面图形为直角梯形 ，其中， ，

A

B

C

D

∥ ， ， 所以 (平方单位)

2.【解析】④

3.【解析】 取线段 的中点 ，连结 ， .

易有 为二面角 的平面角.

在 中， ， ， ， .

4.【解析】①

①中通过线面垂直不难作出判断.②中AB和CD所成的角为 .

③中AB和CD所成的角为 .④中AB和CD所成的角的正切值为 .

5.(理)【解析】 极坐标系中的点(2， )化为直角坐标系中的点为A(1， );极坐标方程

化为直角坐标方程为 ，即 ，其圆心为B(1，0)，半径为1.

所求最小值为 .

(文)【解析】 由题意， 的斜率为 ，设切点 的坐标为 ，则 ， . 的方程为 .

6.(理)【解析】 (0≤q <π)消去参数后的普通方程为 消去参数后的普通方程为 .

联立两个曲线的普通方程得 , 所以它们的交点坐标为 .

(文)【解析】(0，π) ，

令 ，由 有 .

7.【解析】②

①中的直线 可以相交，平行或异面.

②由 和 可证明 ，又 ， .

③的条件中没有 和 . ④中线面垂直的条件不完备.

8.【解析】 圆心 到双曲线的一条渐近线 的距离为 ， .

9.【解析】 画出函数 和 ( )的图象，即可观察出 .

10.【解析】8 由抛物线的定义， .由题意，点 的纵坐标为 .所以点P的纵坐标为 ， 横坐标为 ， .

11.【解析】 ①③④

将 和 的方程相减，得 ， .

不能同时为 ， 式表明方程 无解， 和 一定没有公共点.

又 ， ， ， ，

.

，即 .

12. 【解析】 设点P ，则 (当且仅当 时取“ ”) 的最大值为 .

13.【解析】椭圆 本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题.考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而点P到直线 AB的距离为定值，若忽略平面的限制，则点P的轨迹为一以AB为轴的圆柱面.由于圆柱面的轴AB是平面 的斜线，所以圆柱面与平面 的交集为椭圆.

14. 【解析】 设点 在 上的射影分别为 .根据抛物线的定义， . △ 中， ≥ 当且仅当 时取“ ”. ≥ .

即 的最大值为 .

15.【解析】(1)∵ 、 分别是 、 的中点，∴ ∥ .

∵底面 是矩形，∴ ∥ .∴ ∥ .

又 平面 ， 平面 ， ∴ ∥平面 .

(2)∵ ， ∴ .∵底面 是矩形， .

又 ，

∴ . ∵ ，∴平面 .

16.【解析】以 BC所在直线为 轴，线段BC的中点为原点建立直角坐标系，

则 、 ,设A点坐标为 , 由题设， ,

由正弦定理得 ，可知 A在以 B、C为焦点的双曲线上(双曲线与轴的交点除外).设该曲线的方程为

则 ， ， 。故A点轨迹方程为 .

17.(理)【解析】设P(x，y)，则由条件知M ，由于M点在C1上，所以

即∴C2的参数方程为(α为参数)

(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.

射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，

射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin.

所以AB=ρ1-ρ2=2.

17.(文)【解析】由得 令 ，得 ∵ 过点(2， )的直线方程为 ， 即 (2)令 在其定义域(0，+ )上单调递增,

只需 恒成立

由 上恒成立

∵ ，∴ ，∴ ，∴ 18.【解析】如图建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时 ，

v千米/小时，再设出发x0小时，在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇.

则P、Q两点坐标为(3vx0, 0)，(0,vx0+vy0)

由OP2+OQ2=PQ2知， (3vx0)2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2,

即 .

①

将①代入

设直线PQ的方程为 ， 又已知PQ与圆O相切，

则有 答：A、B相遇点在离村中心正北 米处.

19.【解析】(1)依题意，可设圆 的方程为 ，

且 、 满足方程组

解得 .又因为点 在圆 上，

所以 .故圆 的方程为 .

(2)由题意可知，直线 和直线 的斜率存在且互为相反数，

故可设 所在的直线方程为 ， 所在的直线方程 .

由 消去 ，并整理得 .①

设 ，又已知P ，则 、1为方程①的两相异实数根，

由根与系数的关系得 .

同理，若设点B ，则可得 .

于是 = =1.

而直线 的斜率也是1，且两直线不重合，因此，直线 与 平行.

20.【解析】(Ⅰ)由题意得 解得 ， .

故椭圆 的方程为 .

(Ⅱ)由题意显然直线 的斜率存在，设直线 方程为 ，

由 得 .

因为直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，

所以 ，解得 .

设 ， 的坐标分别为 ， ，

则 ， ， ， .

所以 . 因为 ，

所以 .故 的取值范围为 .

(Ⅲ)由(Ⅱ)得

.

所以 为定值 .

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