高中数学必修一典型例题分析之数列

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网

对于即将升入高中的同学来说,高中数学是一个让人比较头疼的科目,下面是小编为大家整理的高中数学必修一数列经典例题及解析,希望能对大家有所帮助。

高中数学必修一数列经典例题

【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数?

解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列,其中a1=7,d=7,an=98.

代入an=a1+(n-1)d中,有

98=7+(n-1)·7

解得n=14

答 100以内有14个能被7整除的自然数.

【例2】 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,b使这五个数成等差数列,求此数列.

解 设这五个数组成的等差数列为{an}

由已知:a1=-1,a5=7

∴7=-1+(5-1)d 解出d=2

所求数列为:-1,1,3,5,7.

插入一个数,使之组成一个新的等差数列,求新数列的通项.

【例3】 在[1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个?

解 设an=3n,bm=4m-3,n,m∈N

得n=4k-1(k∈N),得{an},{bm}中相同的项构成的数列{cn}的通项cn=12n-3(n∈N).

则在[1000,2000]内{cn}的项为84·12-3,85·12-3,…,166·12-3

∴n=166-84+1=83 ∴共有83个数.

高中数学必修一数列经典例题

【例4】 三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数.

解 设三个数分别为x-d,x,x+d.

解得x=5,d=±2

∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3

说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法. 

【例5】 已知a、b、c成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b也成等差数列.

证 ∵a、b、c成等差数列

∴2b=a+c

∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c

=a+(a+c)+c

=2(a+c)

∴b+c、c+a、a+b成等差数列.

说明 如果a、b、c成等差数列,常化成2b=a+c的形式去运用;反之,如果求证a、b、c成等差数列,常改证2b=a+c.本例的意图即在让读者体会这一点.

可能是等差数列.

分析 直接证明a、b、c不可能是等差数列,有关等差数列的知识较难运用,这时往往用反证法.

证 假设a、b、c是等差数列,则2b=a+c

∴2ac=b(a+c)=2b2,b2=ac.

又∵ a、b、c不为0,

∴ a、b、c为等比数列,

又∴ a、b、c为等差数列,

∴ a、b、c为常数列,与a≠b矛盾,

∴ 假设是错误的.

∴ a、b、c不可能成等差数列.

高中数学必修一数列经典例题

【例6】 解答下列各题:

(1)已知等差数列{an},an≠0,公差d≠0,求证:

①对任意k∈N,关于x的方程

akx2+2ak+1x+ak+2=0有一公共根;

分析与解答

(1)akx2+2ak+1x+ak+2=0

∵{an}为等差数列,∴2ak+1=ak+ak+2

∴akx2+(ak+ak+2)x+ak+2=0

∴(akx+ak+2)(x+1)=0,ak≠0

∵{an}为等差数列,d为不等于零的常数

(2)由条件得 2b=a+c

∴4RsinB=2RsinA+2RsinC,2sinB=sinA+sinC

分析至此,变形目标需明确,即要证

由于目标是半角的余切形式,一般把切向弦转化,故有

【例7】 若正数a1,a2,a3,…an+1成等差数列,求证:

证明 设该数列的公差为d,则

a1-a2=a2-a3=…=an-an+1=-d

∴a1-an+1=-nd

∴ 原等式成立.

高中数学必修一数列经典例题

【例8】已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),那么数列{an}.

[ ]

A.是等比数列

B.当p≠0时是等比数列

C.当p≠0,p≠1时是等比数列

D.不是等比数列

分析 由Sn=pn(n∈N*),有a1=S1=p,并且当n≥2时,

an=Sn-Sn-1=pnpn-1=(p-1)pn-1

但满足此条件的实数p是不存在的,故本题应选D.

说明 数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0(n∈N*),还要注

【例9】 已知等比数列1,x1,x2,…,x2n,2,求x1·x2·x3·…·x2n.

解 ∵1,x1,x2,…,x2n,2成等比数列,公比q

∴2=1·q2n+1

x1x2x3…x2n=q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n

式;(2)已知a3·a4·a5=8,求a2a3a4a5a6的值.

∴a4=2

【例10】 已知a>0,b>0且a≠b,在a,b之间插入n个正数x1,x2,…,xn,使得a,x1,x2,…,xn,b成等比数列,求

证明 设这n+2个数所成数列的公比为q,则b=aqn+1

高中数学必修一数列经典例题

【例11】 设a、b、c、d成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.

证法一 ∵a、b、c、d成等比数列

∴b2=ac,c2=bd,ad=bc

∴左边=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2

=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)

=a2-2ad+d2

=(a-d)2=右边

证毕.

证法二 ∵a、b、c、d成等比数列,设其公比为q,则:

b=aq,c=aq2,d=aq3

∴左边=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2

=a2-2a2q3+a2q6

=(a-aq3)2

=(a-d)2=右边

证毕.

说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目.证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点,走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子.证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的.证法二稍微麻烦些,但它所用的统一成基本元素的方法,却较证法一的方法具有普遍性.

以上是逍遥右脑小编整理的《高中数学必修一典型例题分析之数列》,了解更多关于高中数学的最新资讯,请随时关注逍遥右脑!


本文来自:逍遥右脑记忆 http://www.jiyifa.com/gaozhong/1165187.html

相关阅读:井盖为何通常是圆形的?答案竟然是一道数学题