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高中数学导数的定义,公式及应用总结

导数的定义:

当自变量的增量Δx=x-x0，Δx→0时函数增量Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率).

函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义：表示函数曲线在P0[x0，f(x0)] 点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。

一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性(单调性)的法则：设y=f(x )在(a，b)内可导。如果在(a，b)内，f'(x)>0,则f(x)在这个区间是单调增加的(该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状)。如果在(a，b)内，f'(x)<0,则f(x)在这个区间是单调减小的。所以，当f'(x)=0时，y=f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值

求导数的步骤:

求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：

① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) 　　② 求平均变化率 　　③ 取极限，得导数。

导数公式：

① C'=0(C为常数函数); 　　② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*);熟记1/X的导数 　　③ (sinx)' = cosx; 　　(cosx)' = - sinx; 　　(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 　　-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 　　(secx)'=tanx·secx 　　(cscx)'=-cotx·cscx 　　(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 　　(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 　　(arctanx)'=1/(1+x^2) 　　(arccotx)'=-1/(1+x^2) 　　(arcsecx)'=1/(x(x^2-1)^1/2) 　　(arccscx)'=-1/(x(x^2-1)^1/2) 　　④ (sinhx)'=hcoshx 　　(coshx)'=-hsinhx 　　(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 　　(coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 　　(sechx)'=-tanhx·sechx 　　(cschx)'=-cothx·cschx 　　(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 　　(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 　　(artanhx)'=1/(x^2-1) (x<1) 　　(arcothx)'=1/(x^2-1) (x>1) 　　(arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) 　　(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) 　　⑤ (e^x)' = e^x; 　　(a^x)' = a^xlna (ln为自然对数) 　　(Inx)' = 1/x(ln为自然对数) 　　(logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) 　　(1/x)'=-x^(-2)

导数的应用:

1.函数的单调性

(1)利用导数的符号判断函数的增减性 　　利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想. 　　一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减. 　　如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数. 　　注意：在某个区间内，f'(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。 　　(2)求函数单调区间的步骤(不要按图索骥 缘木求鱼 这样创新何言?1.定义最基础求法2.复合函数单调性) 　　①确定f(x)的定义域; 　　②求导数; 　　③由(或)解出相应的x的范围.当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数;当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数.

2.函数的极值

(1)函数的极值的判定 　　①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点; 　　②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值.

3.求函数极值的步骤

①确定函数的定义域; 　　②求导数; 　　③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根; 　　④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.

4.函数的最值

(1)如果f(x)在[a,b]上的最大值(或最小值)是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值(或最小值)同时是个极大值(或极小值)，它是f(x)在(a，b)内所有的极大值(或极小值)中最大的(或最小的)，但是最值也可能在[a，b]的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念. 　　(2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 　　①求f(x)在(a，b)内的极值; 　　②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

5.生活中的优化问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题.解决这些问题具有非常现实的意义.这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大(小)值问题.

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