数学思想方法作为基础知识的重要组成部分,但又有别于基础知识。除基本的数学方法以外,其他思想方法都呈隐蔽形式,渗透在学习新知识和运用知识解决问题的过程之中。这就要求教师在教学过程中把握渗透的时机,选择适当的方法,使学生能够领悟并逐步学会运用这些思想方法去解决问题。下面是笔者对在课堂教学中渗透数学思想方法途径的几点认识。

　　一、在知识的形成过程中渗透数学思想方法

　　数学知识的发生过程实际上也是数学思想方法的发生过程。任何一个概念,都经历着由感性到理性的抽象概括过程;任何一个规律,都经历着由特殊到一般的归纳过程。如果我们把这些认识过程返璞归真,在教师的引导下,让学生以探索者的姿态出现,去参与概念的形成和规律的揭示过程,学生获得的就不仅是数学概念、定理、法则,更重要的是发展了抽象概括的思维和归纳的思维,还可以养成良好的思维品质。因此,概念的形成过程、结论的推导过程、规律的被揭示过程都是渗透数学思想方法的极好机会和途径。

　　1.展开概念??不要简单地给定义

　　概念是思维的细胞,是浓缩的知识点,是感性认识飞跃到理性认识的结果。而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工,依据数学思想方法的指导。因此概念教学应当完整地体现这一生动的过程,引导学生揭示隐藏于知识之中的思维内核。心理学认为,人对事物的第一次接触是最敏感的,教学成功与否,关键是唤起对旧知识的回忆,探寻新知识的清澈的源头。并通过事物的发生和发展的教学,掌握活的数学概念。

　　例如,函数的概念学生在初中阶段就已经接触,但较完整的定义却在高中出现。如何在函数概念的教学中渗透函数思想呢?笔者认为:中学数学中的函数思想包括变数思想、集合的对应(映射)思想、数形结合的思想、研究函数自变量、函数取值范围以及变量之间关系的不等式控制思想等。其中变数思想是函数思想的基础,对应思想是函数思想的实质,数形结合思想和控制思想是函数思想的具体体现和应用。在函数知识的形成与学习过程中,应逐步渗透上述思想。为此,根据高一学生的认知水平,在函数概念教学时应该抓住函数是两个变量之间的一种特殊的对应(映射)的思想进行渗透。可以通过丰富的实例,让学生体会函数是描述变量间的依赖关系的重要数学模型。

　　2.延迟判断??不要过早地下结论

　　判断可以看作是压缩了的知识链。数学定理、性质、法则、公理、关系、规律等结论都是一个个具体的判断。教学中要引导学生积极参与这些结论的探索、发现、推导的过程,弄清每个结论的因果关系,使学生看到某个判断时,能像回忆自己参加有趣活动那样津津乐道。当然,延迟判断,必定拉长了教学时间,但磨刀不误砍柴工,以后应用就自如了。

　　3.激活推理??不要呆板地找关联

　　激活推理就是要使判断上下贯通,前后迁移、左右逢源,尽可能从已有的判断生出众多的思维触角,促成思维链条的高效运转,不断在数学思想方法指导下推出一个个新的判断、新的思维结果。

　　如在立体几何三垂线定理的教学中,为充分调动学生的思维活动,可以设计下列几个问题:①若直线l与平面α垂直,则l垂直α内的任何直线,那么当l是平面α的斜线时,l与α内的直线有几种位置关系呢?②当l是平面α的斜线时,平面α内有没有直线与l垂直,在什么情况下,l与α内的直线垂直?让学生开展讨论,并阐述理由。③你觉得三垂线定理的本质是什么?它有什么作用?

　　二、在解题探索过程中渗透数学思想方法

　　教学大纲明确指出:“要加强对解题的正确指导,引导学生从解题的思想方法上作必要的概括。”数学中的化归、数学模型、数形结合、类比、归纳猜想等思想方法,既是解题思路分析中必不可少的思想方法,又是具有思维导向型的思想方法。如,学生一旦形成了化归意识,就能化未知为已知、化繁为简、化一般为特殊,优化解题方法;数学思想方法在解题思路探索中的渗透,可以使学生的思维品质更具合理性、条理性和敏捷性。如:

　　例1求f(x)=3sin(x+20°)+sin(x+80°)的最大值和最小值。

　　不少同学直接使用公式展开,结果相当繁琐,造成思维混乱。化解这一问题的方法是,将x+20°(或x+80°)看成一个整体,x+80°化为(x+20°)+60°。这里涉及了换元思想方法(整体思想方法)和化繁为简的化归思想方法。在具体教学中,可以告知学生从函数解析式的特点看本题,本题的焦点是角度不同(即自变量不同)。因此,关键在于如何利用三角恒等变换公式将函数中的角化成同一个角。

　　例2圆周上有2007个点,每两点间连一条弦,如果其中任意三条弦在圆内不共点,求以这些弦在圆内的交点为顶点的三角形个数。

　　这是一个计数问题,如果直接计算有相当大的难度。为此,思考每一个圆内三角形与圆上的点有什么关系?这种想法的实质就是对应思想(映射思想),是化归思想方法中的一种。圆的三条弦恰好在圆内交出一个三角形,弦不同所得的三角形也不同。可见,每一个圆内三角形与圆上的6个不同的点构成一个一一映射,即f:{圆内三角形}→{圆上六点组}。因此,符合条件的三角形有个。

　　三、在问题的解决过程中渗透数学思想方法

　　问题解决,是以思考为内涵,以问题目标为定向的心理活动,是在新情景下通过思考去实现学习目标的活动,“思考活动”和“探索过程”是问题解决的内核。数学领域中的问题解决,与其他科学领域用数学去解决问题不同。数学领域里的问题解决,不仅关心问题的结果,而且关心求得结果的过程,即问题解决的整个思考过程。数学问题解决,是按照一定的思维对策进行的思维过程。在数学问题解决的过程中,既运用抽象、归纳、类比、演绎等逻辑思维形式,又运用直觉、灵感(顿悟)等非逻辑思维形式来探索问题的解决办法。

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