作者：聂立川，畅娜丽，邵洪波
摘要：本文通过一个数学问题的解题过程，探索解题中渗透的数学思维与数学方法，并概括了数学解题教学应达到的目标，力求能够指导数学解题的教学。
关键词：数学解题；逻辑思维；非逻辑思维；数学思维
学数学就要解数学题，数学解题学习对学生巩固知识、培养素质、发展能力和促进个性心理发展都有及其重要的作用和意义，因此数学教学离不开数学解题的教学，数学解题过程中存在着三种思维活动：数学家的思维活动、数学教师的思维活动、学生自己的思维活动。数学解题教学就是教学生学习数学家的思维活动，并逐步使其思维结构与数学家的相似，学会数学的思维。
一、问题的提出
数学解题活动主要是利用认知结构(知识结构和思维结构)对抽象的形式化思想材料进行加工的过程，是数学符号及数学命题在人的大脑里的内部操作过程，也就是一种思维活动。这就必然导致数学解题教学是一个让学生体验数学思维的过程。首先看一例题：
例1：根据下面数列找出它的规律
11，31，41，61，71，101，131，….
答案：末位数为1的素数
然而本题给20名数学系大四的学生15分钟的思考时间，20人竟无一人能回答正确。他们中间的同学试图从数字之和去考虑问题，比如1+1=2，3+1=4，4+1=5，6+1=7，这样可以出现131、151、161(错)、181…。行不通：而后又考虑3+1=4，4+3-1=6，6+4-3=7，7+6-4=9，9+7-6=10，10+9-7=11，11+10-9=12，12+11-10=13这样得出除末位数外的前面的数字，出现了41、61、71、91(错)、101、111(错)、121(错)、131、…。之所以没有答案笔者认为他们的思维方向不对。课后的追访验证了我的答案。
教师：这些数有什么的特点?
学生：个位数都是1
教师：还有什么特点?
学生：凭感觉认为后面的数是151、181，再往后就不知道了，看不到它们的规律。
教师：再从另一个角度考虑，比如素数、和数方面想想?
学生：呵!它们都是素数。
教师；这样你可以说出答案了吧。
学生：(想…)还是不行，还是找不到它的通项公式。
教师：答案是末位数为1的素数。
学生：就是这样的答案吗?不是让找它的通项公式吗?我考虑的太多了，我们都认为是让找通项公式。
可以看到学生认为这道数列的题目是让找通项公式，这与他们在高中数学学习中作过大量这样的题目有关，以前的思维定势让他们认为应该有一个通项公式来表达这个规律，然而本题却没有通项公式。
从上面例题可以看出，在解决问题时往往从特殊的简单情形开始，给人一种返璞归真的感觉，但在解题中必须明确，返璞归真的目的不是为了找出几个简单情形的解法，而是为了通过简单情形的解法，悟出规律，抓住题魂，所谓的“返璞归真不为玉，意在灵性通题魂”，体现了“以退为进”的角色模式。但是，逻辑思维能力是一个需要毕生精力不断苦练的功夫，功夫不到就可能跌入新的误区，任何人跌入误区的原因都是未能把握住这条逻辑链——具体问题具体分析，这是研究一切问题的灵魂。如上面的例题一样，遇到数列找规律的问题就不能想当然的认为找通项公式。
二、数学解题教学的几点思考与建议
学习数学必须学会解题，我国是解题的王国，学生解题的基本功非常好，但相当部分学生的功夫是通过“解题类型+方法”机械训练而来的，忽视了解题中数学思维与方法的学习，造成出现上面的种种弊端。因此如何应用数学思维与数学方法论指导解题是当前一个非常关键的问题。
(一)更新解题观念
什么是解题，不同的人有不同的观念，按现代教学论与心理学，可以这么说，数学解题是在数学思维与方法指导下，有目的地运用数学基础知识和基本技能分析与解决数学问题的过程。G.Polya在《怎样解题》一书一开始，把解题过程归结为四个阶段：(1)弄清问题；(2)制定计划；(3)实现计划：(4)回顾；另外，在《数学发现》中，波利亚又从思维活动的形式这一角度对此作出了更为明确的描述：他指出解题过程是由以下的思维活动所组成的：集中目标，估计前景，对途经的寻找，对更有希望局面的寻找，对有关知识的寻找，重新估计形式。他认为解题是人类最富有特征的一种活动，是学生学习数学的中心环节，是一种实践性技能，是发展学生思维能力、培养良好心理品种的重要手段。我们应从“过程、环节、技能、手段”角度去理解数学解题的概念，数学解题教学是用通过典型数学题的学习，去探究数学问题解决的基本规律，学会象数学家那样“数学的思维”，因此数学解题的教学目的不仅是提高学生的解题能力，深化巩固所学的知识，而且应是掌握其思维与方法、全面提高数学素养。
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