高中数学破题技法之-关羽开门 刀举成功-

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


  作者:佚名
  
  ●计名释义
  
  关羽不同于诸葛.诸葛是智星,靠着扇子;关羽是武士,用的大刀.“过关斩将”用这大刀,“水淹七军”用这大刀.
  
  数学上的“分析”、“分解”、“分割”等,讲的都是刀工.关羽的“切瓜分片”是什么意思?切者,七刀也,分者,八刀也!再难的数学题,经过这七刀、八刀,最后不就粉碎了吗!
  
  ●典例示范
  
  [例1](2006年四川卷第19题)
  
  如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.
  
  (Ⅰ)求证:MN∥面ADD1A1;
  
  (Ⅱ)求二面角P—AE—D的大小;
  
  (Ⅲ)求三棱锥P—DEN的体积.
  
  [分析]这是个长方体,而“长”正好是“宽”和“高”的2倍,这正是“关羽开门”的对象:用刀从中一劈,则分成2个相等的正方体.对于正方体,我们该多么熟悉啊!有关线段的长度,各线段间的位置关系,我们都了如指掌.
  
  [解Ⅰ]取D1C1的中点Q,过Q和MN作平面QRST.显然,M、N都在这平面里.
  
  易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MN∥BCC1B1MN∥面ADD1A1(证毕).
  
  [插语]其所以这么简单,是因为我们对正方体熟悉.正方体从何而来,感谢关羽的大刀之功.以后的(Ⅱ)和(Ⅲ),都可转化到正方体里进行(从略).
  
  【例2】(04•重庆卷题21)设p>0是一常数,过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B,以线段AB为直径作圆H(H为圆心).?
  
  (Ⅰ)试证:抛物线顶点在圆H的圆周上;?
  
  (Ⅱ)并求圆H的面积最小时直线AB的方程.?
  
  【分析】(Ⅰ)AB是圆H的直径,欲证抛物线的顶点在圆上,有如下各种对策:?
  
  ?
  
  【解答】(Ⅰ)当AB⊥x轴时,直线AB的方程为x=2p,代入
  
  ?
  
  【分析】(Ⅱ)为使圆面积最小只须圆半径取到最小值,为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式,直观上我们已可推测到当AB⊥x轴时,弦AB之长最短(这就是论证方向),为此又有多种途径:?
  
  (1)用直线的点斜式与抛物线方程联立,得关于x(或y)的一元二次方程,利用韦达定理写出|AB|2的函数式,再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.?
  
  (2)用直线的参数方程与抛物线方程联立,得关于参数t的一元二次方程,利用韦达定理写出|AB|2=(t1-t2)2的函数表达式,再依正、余弦函数的有界性求其最值.?
  
  这两种方法各有优长,但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐,利用投影公式得出的|AB|函数式,只牵涉一个变量.?
  
  ?
  【点评】斧子开门,只要你说要进去,直接在墙上打洞最直接了.??
  
  ●对应训练?
  
  1.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且a1,a2,…,an构成一个数列{an},满足f(1)=n2.?
  
  (1)求数列{an}的通项公式,并求之值.?
  
  (2)证明0<f<1.?
  
  2.矩形ABCD中,AB=6,BC=2,沿对角线BD将△ABD向上折起,使点A移到点P,并使点P在平面BCD上的射影O在DC上(如图所示).?
  
  (1)求证:PD⊥PC;?
  
  (2)求二面角P—DB—C的大小.?
  
  ?
  
  ●参考答案?
  
  1.分析:(1){an}的各项是f(x)展开式中各项的系数,故其各项和Sn=f(1).
  
  ?(2)可以预见:f展开式的各项是系数成等差,字母成等比的综合数列,这
  
  种数列的求和方法是“错项相减”.?
  
  (3)f的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性.?
  


  2.分析:图形经过翻折(或平移、旋转),只是位置改变,而有关线段的长度、角度及原来的平行、垂直等关系,在位置改变前后都没有改变,紧扣这一点,就能悟出解题门道.
  
  (1)为证PD⊥PC,须先证PD⊥平面PBC,已有PD⊥PB(翻折前为AD⊥AB),还须PD⊥BC.?
  
  (2)求二面角的要点是找出二面角的平面角,已有PO⊥平面BCD于O,且?O∈CD?,只须作OM⊥BD?即可.??
  
  解答:(1)由条件知PO⊥平面BCD于O,且?O∈CD,?BC⊥CD,∴BC⊥PD(三垂线定理),但PD⊥PB,∴PD⊥面PBC,从而PD⊥PC.?
  
  (2)作OM⊥BD于M,连接PM,则BD⊥PM(三垂线定理),∴∠PMO是二面角P—BD—C的平面角,?
  


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