4．6探索三角形相似的条件⑷
一、目标导航
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似及应用．
二、基础过关
1．如图，D，E分别交△ABC的边AB于D，AC于E，且AE?AC=AD?AB，则△ADE与△ABC的关系是 ．
2．□ABCD中，AB=3，AD=5，E为AB中点，在BC上取一点F，使△DCF∽△DAE，则BF= ．
3．在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，AD:AB=AE:AC=2:3，BC=5，则DE= ．
4．如图，∠A=∠DBC，AB=3，AC=5，BC=4，DB=4．8，则CD=
5．△ABC中，AD⊥BC与D，且 ，则△___∽△___;可以判定△ABC为_______三角形．
三．能力提升
6．如图，要使△ACD∽△BCA，需要补充的条件是( )
A． B． C．CD =AD?DB D．AC =AD?AB
7．如图，P是正方形ABCD边BC上一点，且BP=3PC，Q是DC的中点，则AQ:QP=( )
A．2:1 B．3:1 C．3:2 D．5:2
8．能说明△ABC和△A B C 相似的条件是( )
A．AB:A B =AC:A C B．AB:A C =BC:A C 且∠A=∠C
C．AB:A B =BC:A C 且∠B=∠A D．AB:A B =AC:A C 且∠B=∠B
9．在等边△ABC中，D，E分别在AC，AB边上，且 ，AE=BE，则有( )
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
10．如图，∠AOD=90 ，OA=OB=BC=CD，那么以下结论成立的是( )
A．△OAB∽△OCA B．△OAB∽△ODA
C．△BAC∽△BDA D．以上结论都不对．
11．一直线交△ABC的边AB于点D，交AC于点E，若AB=11，BD=6，AC=4.4，CE=2.4，试猜测DE和BC的关系;并说明理由．
12．如图，已知 ，GE//BC．求证:EF//CD．
13．已知：如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4
求证：∠ACB=∠DEB．
14．如图，在△ABC中，AD是角平分线，E是AD上的一点，且 ．
求证:CE = CD．
15．如图，P为正方形ABCD的边BC上的点，BP=3PC，Q是CD中点．
⑴求证:△ADQ∽△QCP；⑵在现在的条件下，请再写出一个正确结论．
16．如图，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形．
⑴当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB；
⑵当ΔPDB∽ΔACP时，试求∠APB的度数．
17．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上，若△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似，求CM的长．
18．如图，已知点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．
⑴求证:BE?AD=CD?AE；⑵根据图形特点，猜想BCDE 可能等于哪两条线段的比（只需写出图形中已有线段的一组比即可），并证明你的结论．
四、聚沙成塔
19．在△ABC中， ∠B=25 ，AD是BC边上的高，并且AD =BD? DC，则∠BCA的度数为 ．
20．已知：如图，矩形ABCD中AB∶BC=5∶6，点E在BC上，点F在CD上，EC= BC，FC= CD，FG⊥AE与G．求证：AG=4GE．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，M为DE的中点，AM与BE相交于N，AD与BE相交于F．求证:⑴DECE =ADCD ；⑵△BCE∽△ADM；⑶AM与BE互相垂直．
22．如图，△ABC中，∠C=90 ，BC=8cm，AC:AB=3:5，点P从点B出发沿BC向点C以2厘米/秒的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1厘米/秒的速度移动，如果P，Q分别从B，C同时出发，问第几秒时△CPQ与△CBA相似?
23．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC(AB＞AE)．
⑴△AEF与△EFC是否相似?若相似，证明你的结论;若不相似，说明理由有．
⑵设 ，是否存在这样的 值，使得△AEF与△BCF相似，若存在，证明你的结论并求出 值;若不存在，说明理由．
4．6探索三角形相似的条件⑷
1．相似；2．4.1；3． ；4．4；5．ABD，CBA，直角；6．D；7．A；8．C；9．B；10．C；11．DE//BC；12．证△AEF∽△ACD，得∠AFE=∠D；
13．易得△ABD∽△CBE， ∠ACB=∠DEB．
14．证△ABD∽△ACE得∠ADB=∠AEC即可．
15．略．
16． ⑴CD =AC?BD．⑵∠APB=120 ．
17．分两种情况讨论: ⑴CM= ，⑵CM= ．
18． ⑴证明△ACD∽△ABE， ⑵ 或 ．由⑴得: ，△ABC∽△AED问题即可得证．
19．65 或115 ．
20．易得 ，△CEF∽△DAF，得 与∠AFE=90 ．即可得到．
21． ⑴证明△CDE∽△ADE，⑵由⑴得 ，即 ，又∠ADM=∠C．⑶由⑵得∠DBF=∠DAM，所以AM⊥BE．
22．易得:AC=6，AB=10．分两种情况讨论: 设时间为t秒．⑴当 时，
，解得t= ．⑵同理得 ，解得t= ．
23． ⑴相似，提示可延长FE，CD交于点G． ⑵分两种情况:①∠BCF=∠AFE时，产生矛盾，不成立．②当∠BCF=∠EFC时，存在，此时k= ．由条件可得∠BCF=∠ECF=∠DCE=30 ，以下略．


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