2018-2019学年山东省聊城市临清市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）cos60°的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．矩形都是相似图形
B．菱形都是相似图形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形
D．等边三角形都是相似三角形
3．（3分）如图，已知P是△ABC边AB上的一点，连接CP．以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C．AC2=AP•AB D． =
4．（3分）如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=8，以点C为圆心，半径为4的圆与直线OA的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交
C．相切 D．以上三种情况均有可能
5．（3分）已知sinA= ，且∠A为锐角，则tanA=（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（ ）
A．30° B．50 ° C．60° D．70°
7．（3分）如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．（3分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD垂直相交于点E，连结AC，OC，若∠A=30°，OC=4，则弦CD的长是（ ）
A． B．4 C． D．8
9．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC， = ，则OE：OB=（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点A旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有摩擦，则重物上升了（ ）
A．5πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm
12．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（ ）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）如图，⊙O中， 的度数为40°，则圆周角∠MA N的度数是 ．
14．（3分）如图，一山坡的坡度为i=1： ，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了 米．
15．（3分）已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是 ．
16．（3分）如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为 ．（只考虑小于90°的角度）
17．（3分）如图，在△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC，AB上，BC=15cm，BC边上的高是10cm，则正方形的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共69分）
18．（8分）计算：
（1）2cos30°+tan60°?2tan45°•tan60°
（2）sin245°? tan30°．
19．（7分）如图，在坐标系的第一象限建立网格，网格中的每个小正方形边长都为1，格点△ABC的顶点坐标分别为A（2，4）、B（0，2）、C（4，4）．
（1）若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为 ．
（2）以点D为顶点，在网格中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为1：2．（画出符合要求的一个三角形即可）
20．（8分）如图，已知AB∥FD，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠AEB=∠F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若AB=5，CE=6，BE=2，求FC的长．
21．（8分）如图，ABCD是圆O的内接四边形，BC是圆O的直径，∠ACB=20°，D为 的中点，求∠DAC的度数．
22．（8分）如图，我市某中学课外活动小组的同学要测量海河某段流域的宽度，小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处188米远的B处测得∠C BD=30°，根据这些数据计算出这段流域的河宽和BC的长．
（结果精确到1m）
23．（8分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若 EF=6，CF=3，求⊙O的半径长．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开 始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
25．（12分）某住宅小区将现有一块三角形的绿化地改造为一块圆形的绿化地如图1．已知原来三角形绿化地中道路AB长为16 米，在点B的拐弯处道路AB与BC所夹的∠B为45°，在点C的拐弯处道路AC与BC所夹的∠C的正切值为2（即tan∠C=2），如图2．
（1）求拐弯点B与C之间的距离；
（2）在改造好的圆形（圆O）绿化地中，这个圆O过点A、C，并与原道路BC交于点D，如果点A是圆弧（优弧）道路DC的中 点，求圆O的半径长．
2018-2019学年山东省聊城市临清市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）cos60°的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
【解答】解：cos60°= ，
故选：D．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．矩形都是相似图形
B．菱形都是相似图形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形
D．等边三角形都是相似三角形
【解答】解：A、正方形是特殊的矩形，所以矩形不都是相似图形，故本选项错误；
B、菱形的内角度数不定，所以菱形不都是相似图形，故本选项错误；
C、菱形和正方形可以满足边长对应成比例，但不是相似图形，故本选项错误；
D、等边三角形都是相似三角形，故本选项正确．
故选D．
3．（3分）如图 ，已知P是△ABC边AB上的一点，连接CP．以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C．AC2=AP•AB D． =
【解答】解：∵∠ACP=∠B，∠CAP=∠BAC，
∴△ACP∽△ABC，故选项A正确；
∵∠APC=∠ACB，∠CAP=∠BAC，
∴△ACP∽△ABC，故选项B正确；
∵AC2=AP•AB，
∴ ，
又∵∠CAP=∠BAC，
∴△ACP∽△ABC，故选项C正确；
∵ ，
但未说明∠ACP=∠ABC，
∴不能判断△ACP∽△ABC，故选项D错误；
故选D．
4．（3分）如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=8，以点C为圆心，半径为4的圆与直线OA的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交
C．相切 D．以上三种情况均有可能
【解答】解：
∵∠O=30°，OC=8，
∴CD=OC=4，
∵⊙C的半径为4，
∴d=r，
∴⊙C和OA的位置关系是相切．
故选C．
5．（3分）已知sinA= ，且∠A为锐角，则tanA=（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：cosA= = ，
tanA= = ，
故选：C．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（ ）
A．30° B．5 0° C．60° D．70°
【解答】解：连接BD，
∵∠ACD=30°，
∴∠ABD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°?∠ABD=60°．
故选C．
7．（3分）如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
【解答】解：∵∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，
∴△ABD∽△BDC，
∴ = ，即 = ，
解得CD= ．
故选B．
8．（3分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD垂直相交于点E，连结AC，OC，若∠A=30°，OC=4，则弦CD的长是（ ）
A． B．4 C． D．8
【解答】解：由圆周角定理得，∠COB=2∠A=60°，
∴CE=OC•sin∠COE=4× =2 ，
∵AE⊥CD，
∴CD=2CE=4 ，
故选：C．
9．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC， = ，则OE：OB=（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = ，
又∵ = ，
∴ = = ，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OCB，
∴ = = ，
故选：B．
10．（3分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为 ，2， ，
A、因为三边分别为： ， ，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
B、因为三边分别为：1， ， ，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；
C、因为三边分别为：1，2 ， 三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
D、因为三边分另为：2， ， ，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，
故选：B．
11．（3分）如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点A 旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有摩擦，则重物上升了（ ）
A．5πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm
【解答】解： =3π，
所以重物上升了3πcm．
故选B．
12．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（ ）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE=1：4，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴ = ，
∴ = ，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC=1：25，
∴S△ACD=25a?a?4a=20a，
∴S△BDE：S△ACD=a：20a=1：20．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）如图，⊙O中， 的度数为40°，则圆周角∠MAN的度数是 20° ．
【解答】解：连接OM、ON，
∵ 的度数为40 °，
∴∠MON=40°，
∴∠MAN=20°，
故答案为：20°．
14．（3分）如图，一山坡的坡度为i=1： ，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了 100 米．
【解答】解：根据题意得tan∠A= = = ，
所以∠A=30°，
所以BC= AB= ×200=100（m）．
故答案为100．
15．（3分）已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是 6 ．
【解答】解：根据扇形的面积公式，得
R= = =6，
故答案为6．
16．（3分）如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为 70° ．（只考虑小于90°的角度）
【解答】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠PAB=20°，因而∠PBA=90°?20°=70°，在小量角器中弧PB所对的圆心角是70°，因而P在小量角器上对应的度数为 70°．
故答案为：70°；
17．（3分）如图，在△ABC中，正方形EFGH 的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC，AB上，BC=15cm，BC边上的高是10cm，则正方形的面积为 36cm2 ．
【解答】解：设AD与HG交点为M，正方形EFGH的边长为xcm，则AM=10?x（cm），
∵四边形EFGH为正方形，
∴HG∥BC，
∴ = ，
即 = ，解得x=6，
∴正方形的面积为36cm2，
故答案为：36cm2．
三、解答题（本大题共8小题，共69分）
18．（8分）计算：
（1）2cos30°+tan60°?2tan45°•tan60°
（2）sin245°? tan30°．
【解答】解：（1）原式=2× + ?2×
=0；
（2）原式=（ ）2? ×
= ?1
=? ．
19．（7分）如图，在坐标系的第一象限建立网格，网格中的每个小正方形边长都为1，格点△ABC的顶点坐标分别为A（2，4）、B（0，2）、C（4，4）．
（1）若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为 （3，1） ．
（2）以点D为顶点，在网格中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为1：2．（画出符合要求的一个三角形即可）
【解答】解：（1）如图，
点P即为所求，其坐标为（3 ，1），
故答案为：（3，1）；
（2）如图，△DEF即为所求三角形．
20．（8分）如图，已知AB∥FD，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠AEB=∠F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若AB=5，CE=6，BE=2，求FC的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠2．
∵∠AEB=∠F，
∴△ABE∽△ECF．
（2）解：∵△ABE∽△ECF，
∴ = ，
∴ = ，
∴CF= ．
21．（8分）如图，ABCD是圆O的内接四边形，BC是圆O的直径，∠ACB=20°，D为 的中点，求∠DAC的度数．
【解答】解：∵BC为圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠B=90°?200=700．
∵四边形ABCD为圆O内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠D=110°．
因为D为弧AC中点，
∴ = ，
∴∠DAC=35° ．
22．（8分）如图，我市某中学课外活动小组的同学要测量海河某段流域的宽度，小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处188米远的B处测得∠CBD=30°， 根据这些数据计算出这段流域的河宽和BC的长．
（结果精确到1m）
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB，e
设CE=x，
在Rt△ACE中，∠CAE=45°，
∴AE=CE=x，
在Rt△BCE中，∵∠CAE=30°，
∴BE= CE= x，BC=2x，
∵AB=188，
∴BE?AE= x?x=188，
∴x= ≈257m，
∴CE=257m，BC=2x=514m，
即：这段流域的河宽为257m，BC的长为514m；
23．（8分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若 EF=6，CF=3，求⊙O的半径长．
【解答】（1）证明：
如图1，连接OE，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∵∠ACB=90°，
∴OE∥BF，
∴∠OED=∠F，
∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODF=∠F，
∴BD=BF；
（2）解：
如图2，连接BE，
∵BD为⊙O的直径，
∴BE⊥DF，
∴DE=EF=6，
∵CF=3，EF=6，
∴cos∠F= = = ，
∴∠F=60°，
又由（1）可知BD=BF，
∴△BDF为等边三角形，
∴BD=DF=12，
∴⊙O的半径为6．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
【解答】解：设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8?2t，BQ=4t，
∵∠PBQ=∠ABC，
∴当 = 时，△BPQ∽△BAC，即 = ，解得t=2（s）；
当 = 时，△BPQ∽△BCA，即 = ，解得t=0.8（s）；
即经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似．
25．（12分）某住宅小区将现有一块三角形的绿化地改造为一块圆形的绿化地如图1．已知原来三角形绿化地中道路AB长为16 米，在点B的拐弯处道路AB与BC所夹的∠B为45°，在点C的拐弯处道路AC与BC所夹的∠C的正切值为2（即tan∠C=2），如图2．
（1）求拐弯点B与C之间的距离；
（2）在改造好的圆形（圆O）绿化地中，这个圆O过点A、C，并与原道路BC交于点D，如果点A是圆弧（优弧）道路DC的中点，求圆O的半径长．
【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，
∵∠B=45°，
∴AE=AB•sin45°=16 × =16，
∴BE=AE=16，
∵tan∠C=2，
∴ =2，
∴EC==8，
∴BC=BE+EC=16+8=24；
（2）连接AD，
∵点A是圆弧（优弧）道路 DC的中点，
∴∠ADC=∠C，
∴AD=AC，
∴AE垂直平分DC，
∴AE经过圆心，
设圆O的半径为r，
∴OE=16?r，
在RT△OEC中，OE2+EC2=OC2，
即（16?r）2+82=r2，
解得r=10，
∴圆O的半径为10．
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