第一章特殊的平行四边形专项测试题(二)
一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）
1、在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，则图中全等的直角三角形共有(      )
 
    A.  对
    B.  对
    C.  对
    D.  对
2、下列四个命题中，真命题是（）．
    A. 四边都相等的四边形是正方形
    B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
    C. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
    D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3、如果要证明平行四边形 为正方形，那么我们需要在四边形 是平行四边形的基础上，进一步证明（）．
    A.  与 互相垂直平分
    B.  且
    C.  且
    D.  且
4、下列说法中错误的是（　　）.
    A. 对角线垂直的矩形是正方形
    B. 对角线相等的菱形是正方形
    C. 四条边相等的四边形是正方形
    D. 四个角相等的四边形是矩形
5、如图，在矩形 中， 为 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ，则图中的全等三角形共有（）.
 
    A.  对
    B.  对
    C.  对
    D.  对
6、 在 中，  ， 是边 上一点， 交 于点 ， 交 于点 ，若要使四边形 是菱形，只需添加条件(   ).
    A. 
    B. 
    C. 
    D. 
7、过矩形 的四个顶点作对角线 、 的平行线分?交于 、 、 、 四点，则四边形 是（    ).
    A. 平行四边形
    B. 矩形
    C. 菱形 
    D. 正方形
8、下列命题中，真命题是（　　）
    A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
    B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
    C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
    D. 两条对角线相等的四边形是矩形
9、用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④等腰三角形 ⑤等边三角形，一定能拼成的图形是
    A. ①②④
    B. ①②③
    C. ①②⑤
    D. ①④⑤
10、设 、 表示两个集合，我们规定“ ”表示 与 的公共部分，并称之为 与 的交集．例如：若 正数 ， 整数 ，则 正整数 ．若 矩形 ， 菱形 ，则所对应的集合 是（　　）
    A.  正方形
    B.  菱形
    C.  矩形
    D.  平行四边形
11、如图所示，已知四边形 的对角线 、 相交于点 ，则下列能判断它是正方形的条件是（　　）
12、如图，在 中， ， ， ， 为边 上一动点， 于 ， 于 ， 为 的中点，则 的最小值为（　　）
 
13、如图，四边形 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（　　）
14、如图，已知四边形 的四边都相等，等边 的顶点 、 分别在 、 上，且 ，则 （　　）
15、如图所示，设 表示平行四边形， 表示矩形， 表示菱形， 表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（　　）
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
16、边长为 的正方形，对角线的长为______ .
17、有一组              相等的                四边形是菱形.
18、1.正方形的定义
有一组邻边         且一个角是          的平行四边形叫做正方形。
19、如果菱形的两对角线分别为 和 ，则它的面积是             ．
20、如图，在矩形 中， ，点 和点 分别从点 和点 出发，按逆时针方向沿矩形 的边运动，点 和点 的速度分别为 和 ，则最快             后，四边形 成为矩形．
 
三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）
21、如图，在正方形 中，已知 是对角线 上一点，连接 、 ，延长 到 ，使 .求证： . 

22、在平行四边形 中，过点 作 于点 ，点 在边 上， ，连接 ．
 
(1) 求证：四边形 是矩形；
(2) 若 ，求证： 平分 ．
 

23、如图，在 中， ， 的垂直平分线 交 于 ，交 于 ， 在 上，并且 ．
 
(1) 求证：四边形 是平行四边形．
(2) 求证：四边形 是平行四边形．
(3) 当 满足什么条件时，四边形 是菱形？请回答并证明你的结论．

第一章特殊的平行四边形专项测试题(二) 答案部分
一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）
1、在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，则图中全等的直角三角形共有(      )
 
    A.  对
    B.  对
    C.  对
    D.  对
【答案】D
【解析】解： 四边形 是菱形
即图中全等的直角三角形共有 对.
2、下列四个命题中，真命题是（）．
    A. 四边都相等的四边形是正方形
    B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
    C. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
    D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】B
【解析】解：
 对角线互相垂直平分的四边形可能是菱形也可能是正方形， 不是真命题，
 对角线互相垂直且相等的四边形可能是菱形也可能是正方形， 不是真命题，
 对角线相等且互相平分的四边形是矩形， 是真命题，
 四边都相等的四边形可能是是菱形也可能是正方形， 不是真命题，
故答案为：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
3、如果要证明平行四边形 为正方形，那么我们需要在四边形 是平行四边形的基础上，进一步证明（）．
    A.  与 互相垂直平分
    B.
 且
    C.  且
    D.  且
【答案】C
【解析】解：
  且 ，只能证明四边形是菱形，
  且 错误，
  且 ，能证明四边形是正方形，
  且 正确，
  且 ，只能证明四边形是矩形，
  且 错误，
  与 互相垂直平分，只能证明四边形是菱形，
  与 互相垂直平分错误，
故答案为： 且 ．
4、下列说法中错误的是（　　）.
    A. 对角线垂直的矩形是正方形
    B. 对角线相等的菱形是正方形
    C. 四条边相等的四边形是正方形
    D. 四个角相等的四边形是矩形
【答案】C
【解析】解：四个角相等的四边形则每个角为90°，所以是矩形，该说法正确，不符合题意；
四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，该说法错误，符合题意；
对角线相等的菱形是正方形，该说法正确，不符合题意；
对角线垂直的矩形是正方形，该说法正确，不符合题意．
故正确答案选：四条边相等的四边形是正方形.
5、如图，在矩形 中， 为 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ，则图中的全等三角形共有（）.
 
    A.  对
    B.  对
    C.  对
    D.  对
【答案】A
【解析】解：由矩形 可知 ,
 为 的中点，
 ，
在 和 中，
 , ， ，
 ，
 ，
由矩形 得 ，
 ，
由 ， ， 可得：
 ，
由矩形 得：
 ， ，
在 和 中，
 ， ， ，
 ，
 
综上可知图中全等的三角形共有 对.
故正确答案是： 对.

6、 在 中，  ， 是边 上一点， 交 于点 ， 交 于点 ，若要使四边形 是菱形，只需添加条件(   ).
    A. 
    B. 
    C. 
    D. 
【答案】C
【解析】解：只需添加 
  ，
 四边形 是平行四边形
 
 四边形 是菱形
故正确答案是： 
7、过矩形 的四个顶点作对角线 、 的平行线分?交于 、 、 、 四点，则四边形 是（    ).
    A. 平行四边形
    B. 矩形
    C. 菱形 
    D. 正方形
【答案】C
【解析】解：
 
由题意知， ， ，
 四边形 是平行四边形，
 .
 四边形 为矩形，矩形的对角线相等，
 ，
 ，
 平行四边形 是菱形.
故答案为：菱形.
8、下列命题中，真命题是（　　）
    A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
    B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
    C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
    D. 两条对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【解析】解：两条对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，该选项命题错误；
两条对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，该选项命题错误；
两条对角线互相垂直且相等且互相平分的四边形是才正方形，该选项命题错误；
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，该命题正确.
故答案为：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
9、用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④等腰三角形 ⑤等边三角形，一定能拼成的图形是
    A. ①②④
    B. ①②③
    C. ①②⑤
    D. ①④⑤
【答案】A
【解析】如图，用两个完全相同的直角三角形首先可以拼成平行四边形、矩形和等腰三角形
 
因为该直角三角形不一定有60°内角，所以不一定能拼成等边三角形，因为该直角三角形不一定有两条边相等，所以不一定能拼成菱形，故一定能拼成的只有平行四边形、矩形和等腰三角形
故①②④正确
10、设 、 表示两个集合，我们规定“ ”表示 与 的公共部分，并称之为 与 的交集．例如：若 正数 ， 整数 ，则 正整数 ．若 矩形 ， 菱形 ，则所对应的集合 是（　　）
    A.  正方形
    B.  菱形
    C.  矩形
    D.  平行四边形
【答案】A
【解析】解： “ ”表示 与 的公共部分，
 矩形 ， 菱形 ，
则既是矩形又是菱形的为正方形，则
 正方形 ．
11、如图所示，已知四边形 的对角线 、 相交于点 ，则下列能判断它是正方形的条件是（　　）
 
    A.  ，
    B.  ， ，
    C. 
    D.  ，
【答案】D
【解析】解： 且AC、BD互相平分可判定为菱形，再由AC=BD判定为正方形．
12、如图，在 中， ， ， ， 为边 上一动点， 于 ， 于 ， 为 的中点，则 的最小值为（　　）
 
    A. 
    B. 
    C. 
    D. 
【答案】D
【解析】解：连结 ，如图所示：
 ， ， ，
 ，
 ， ，
 四边形 是矩形，
 ．
 是 的中点，
 ，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即 时， 最短，同样 也最短，
 当 时， ，
 最短时， ，
 当 最短时， ．
13、如图，四边形 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（　　）
 
    A. 
    B. 
    C. 
    D. 
【答案】D
【解析】解：可添加 ，
 四边形 的对角线互相平分，
 四边形 是平行四边形，
 ，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
 四边形 是矩形，
14、如图，已知四边形 的四边都相等，等边 的顶点 、 分别在 、 上，且 ，则 （　　）
 
    A. 
    B. 
    C. 
    D. 
【答案】D
【解析】解： 四边形 的四边都相等，
 四边形 是菱形，
 ， ， ，
 ，
 是等边三角形， ，
 ， ，
 ， ，
由三角形的内角和定理得： ，
设 ，则 ，
 ，
 ，
解得： ，
 ．
15、如图所示，设 表示平行四边形， 表示矩形， 表示菱形， 表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（　　）
    A. 
    B. 
    C. 
    D. 
【答案】D
【解析】解： 四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，
 正方形应是N的一部分，也是 的一部分，
 矩形形、正方形、菱形都属于平行四边形，
 它们之间的关系是： ．
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
16、边长为 的正方形，对角线的长为______ .
【答案】
【解析】解：如图所示：
 
 四边形 是正方形，
  ，  .
在直角 中， ，
由勾股定理得：  .
故答案为： .
17、有一组              相等的                四边形是菱形.
【答案】邻边；平行
【解析】解：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
故正确答案是：邻边；平行.
18、1.正方形的定义
有一组邻边         且一个角是          的平行四边形叫做正方形。
【答案】相等，直角
【解析】解:有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
故答案是,相等,直角.
19、如果菱形的两对角线分别为 和 ，则它的面积是             ．
【答案】10
【解析】解：棱形的对角线互相垂直，则它的面积
 
20、如图，在矩形 中， ，点 和点 分别从点 和点 出发，按逆时针方向沿矩形 的边运动，点 和点 的速度分别为 和 ，则最快             后，四边形 成为矩形．
 
【答案】4
【解析】解：设最快 秒， 是矩形， ，
要使 是矩形，则 ，
得  ．
解得 ．
三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）
21、如图，在正方形 中，已知 是对角线 上一点，连接 、 ，延长 到 ，使 .求证： .
 
【解析】证明：
 正方形 中， ， .
  ，
  .
22、在平行四边形 中，过点 作 于点 ，点 在边 上， ，连接 ．
 
(1) 求证：四边形 是矩形；
【解析】证明：
 四边形 是平行四边形，
 ．
 ，
 四边形 是平行四边形．
 ，
 ，
 四边形 是矩形．

(2) 若 ，求证： 平分 ．
【解析】解：
 四边形 是平行四边形，
 ，
 ．
在 中，由勾股定理，得
 ，
 ，
 ，
 ，
即 平分 ．
23、如图，在 中， ， 的垂直平分线 交 于 ，交 于 ， 在 上，并且 ．
 
(1) 求证：四边形 是平行四边形．
【解析】解： 是 的垂直平分线，
 ， ，
 ，
 与 互余， 与 互余
 ，
 ，
又 ，
 和 都是等腰三角形，
 ，
 ，
 在 和 中
 ，
 （ ），
 
 
 四边形 是平行四边形．
 

(2) 求证：四边形 是平行四边形．
【解析】解： 是 的垂直平分线，
 ， ，
 ，
 ，
 ，
 ，
 与 互余， 与 互余
 ，
 ，
又 ，
 和 都是等腰三角形，
 ，
 ，
 在 和 中
 ，
 （ ），
 
 
 四边形 是平行四边形．
 
(3) 当 满足什么条件时，四边形 是菱形？请回答并证明你的结论．
【解析】解：当 时，四边形 是菱形．
证明如下：
 ，
 ，
 ，
 平行四边形 是菱形．

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