单元检测五　四边形
(时间：120分钟　总分：120分)
一、(每小题3分，共30分)
1．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α为(　　)

A．30° B．40° C．80° D．不存在
2．李明设计了下面四种正多边形的瓷砖图案，用同一种瓷砖可以平面密铺的是(　　)

A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
3．如图所示，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是(　　)

A．A C⊥BD B．AB＝CDC．BO＝OD D．∠BAD＝∠BCD
4．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是(　　)
A．33 B．63 C．3 D．6
5．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD，AC，BD相交于O点，∠BCD＝60°，则下列说法 不正确的是(　　)

A．梯形ABCD是轴对称图形 B．BC＝2AD
C．梯形ABCD是中心对称图形 D．AC平分∠DCB
6．如图，矩形ABCD的周长为20 c，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别 交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周 长为(　　)

A．10 c B．9 c C．8 c D．5 c
7．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列四个判断中不正确的是(　　)

A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
8．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为(　　)

A．23 B．332 C．3 D．6
9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝45， BC＝10，则AB的值是(　　)

A．3 B．6 C．8 D．9
10．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E.已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(　　)

A．23 B．33 C．4 D．43
二、题(每小题3分，共24分)
11．已知菱形的对角线长分别为16 c,12 c，则周长是__________．
12．如图，在 ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为__________．

13．矩形纸片ABCD的边长AB＝4，AD＝2.将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色，则着色部分的面积为__________．

14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝8 c，BD＝6 c，则此梯形的高为__________c.

15．如图，在边长为2 c的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB，PQ，则△PBQ周长的最小值为__________c(结果不取近似值)．

16．如图，任意一个凸四边形ABCD，E，F，G，H分别是各边的中点，图中阴影部分的两块面积之和是四边形ABCD的面积的_____ _____．

17. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t=_________秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．

18．如图，依次连接 第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为__________．

三、解答题(共66分)
19．(6分)如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.

(1)求证：△AFD≌△CEB；
(2)四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
20．(6分)如图，已知E，F分别是 ABCD的边BC，AD上的点，且BE＝DF.

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
21．(8分)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.

(1)试说明AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
22．(8分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于 点E.

求证：(1)△BFC≌△DFC；
(2)AD＝AE.
23. (9分)写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．

命题：如果平行四边形的一条对角线平分它的一个内角，那么这个平行四边形是菱形．
已知：如图，________________.
求证：__________________.
证明：
24．(9分) 如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′(此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上)，A′B′交AD于点E，连接AA′，CE.

求证：(1)△ADA′≌△CDE；
(2)直线CE是线段AA′的垂直平 分线．
25．(10分)如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA，OD到点F，E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF.将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2)．

(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；
(2)当α＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．
26．(10分)如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE ∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC，AE分别交于点O、点E，连接EC．

(1)求证：AD＝EC；
(2)当∠BAC＝90°时，求证：四边形ADCE是菱形；
(3)在(2)的条件下，若AB＝AO，求tan∠OAD的值．

参考答案
一、1.B
2．A　③是正五边形，几个正五边形的内角绕着一点不能拼成一个周角，所以正五边形不可以密铺．
3．A　4.D
5．C　∵AD∥BC，AB＝CD＝AD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∠ADB＝∠DBC，∠ABD＝∠ADB，
∴梯形ABCD是轴对称图形，∠DBC＝12∠ABC.
∵∠BCD＝60°，∴∠DBC＝12∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2AD.
∵梯形ABCD是轴对称图形，BD平分∠ABC，
∴AC平分∠DCB，故不正确的说法只有C.
6．A　∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC.
∵EF⊥AC，∴AE＝CE.
∴CE＋CD＋ED＝AE＋ED＋CD＝AD＋CD
＝12(AB＋BC＋CD＋AD)＝12×20＝10(c)．
7．D　两组对边分别平行的四边形是平行四边形，A项正确；有一个角是直角的平行四边形是矩形，B项正确；对角线平分对角的平行四边形是菱形，C项正确；因此D项错．
8．A　9.B　10.A
二、11.40 c　12.6　13.112
14．4.8　作DE∥AC交BC的延长线于E，

∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形．
∴DE＝AC＝8 c.
∵AC⊥BD，DE∥AC，
∴△BDE为直角三角形．
∵BD＝6 c，DE＝8 c，
∴BE＝BD2＋DE2＝10 c.
作DF⊥BE于F，则12BD•DE＝12BE•DF，
即12×6×8＝12×10•DF，
∴DF＝4.8 c.
15．(5＋1)　如图，连接QD交AC于P，连接BP，BD.

∵点D是点B关于直线AC的对称点，而AC垂直平分BD，∴PB＝PD.
∴PB＋PQ＝PD＋PQ＝QD，此时所求周长最小．
在Rt△DCQ中，QC＝1，DC＝2，∴QD＝5.
∴△PBQ周长的最小值为(5＋1) c.
16.12　17.2或143　18.14n－1
三、19.解：(1)证明：∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.
∵在△AFD和△CEB中，DF＝BE，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE，
∴△AFD≌△CEB(SAS)．
(2)四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵△AFD≌△CEB，
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE.
∴AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形．
20．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC.∴AF∥EC.
∵BE＝DF，∴AF＝EC.
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)解：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC.

∴∠1=∠2.
∵∠BAC=90°，
∴∠3=90°-∠2，∠4=90°-∠1.
∴∠3=∠4.∴AE=BE.
∴BE=AE=CE=12BC=5.
21．解：(1)∵△ABE是等边三角形，FE⊥AB交于F，
∴∠AEF＝30°，AB＝AE，∠EFA＝90°.
在Rt△AEF和Rt△BAC中，
∵∠AEF＝∠BAC，∠EFA＝∠ACB，AE＝AB，
∴△AEF≌△BAC(AAS)．∴AC＝EF.
(2)证明：∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD.
∴∠DAB＝60°＋30°＝90°.
又∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°＝∠DAB.
∴AD∥EF.
又∵AC＝EF(已证)，AC＝AD，
∴AD＝EF.∴四边形ADFE是平行四边形．
22．证明：(1)∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF.
在△BFC和△DFC中，
BC＝DC，∠BCF＝∠DCF，FC＝FC.
∴△BFC≌△DFC.
(2)如图，连接BD.

∵△BFC≌△DFC，∴BF=DF.
∴∠FBD=∠FDB.
∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB.
∴∠ABD=∠FBD.
∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC.
∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC.
∴∠BDA=∠BDC.
又BD是公共边，∴△BAD≌△BED.
∴AD=DE.
23．解：在 ABCD中　对角线AC平分∠DAB(或∠DCB)．
ABCD是菱形
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠DAC＝∠BCA.
∵对角线AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC.
∴∠BCA＝∠BAC.
∴BA＝BC.
∴ ABCD是菱形．
24．证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°.
∴∠A′DE＝90°，
根据旋转的方法可得，∠EA′D＝45°.
∴∠A′ED＝45°.∴A′D＝DE.
在△AA′D和△CED中，AD＝CD，∠ADA′＝∠EDC，A′D＝ED，
∴△AA′D≌△CED.
(2)∵AC＝A′C，
∴点C在AA′的垂直平分线上．
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAE＝45°.
∵AC＝A′C，CD＝CB′，
∴AB′＝A′D.
在△AEB′和△A′ED中，∠EAB′＝∠EA′D，∠AEB′＝∠A′ED，AB′＝A′D，
∴△A EB′≌△A′ED，∴AE＝A′E.
∴点E也在AA′的垂 直平分线上．
∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．
25．(1)解：AE1＝BF1.理由如下：
∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OD.
∵OF＝2OA，OE＝2OD，∴OE＝OF.
∵将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1，
∴OE1＝OF1.
∵∠F1OB＝∠E1OA，OA＝OB，
∴△E1AO≌△F1BO，∴AE1＝BF1.
(2)证明：如图，取OE1的中点G，连接AG，

∵∠AOD=90°，α=30°，
∴∠E1OA=90 °-α=60°.
∵OE1=2OA，∴OA=OG，
∴∠E1OA=∠AGO=∠OAG=60°，
∴AG=GE1，∴∠GAE1=∠GE1A=30°，
∴∠E1AO=90°，∴△AOE1为直角三角形．
26．(1)证明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD且AE＝BD.
又∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，
∴AE?CD，∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AD＝EC.
(2)证明：∵∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝BD＝CD.
又∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形．
(3)解：∵四边形ADCE是菱形，
∴AO＝CO，∠AOD＝90°.又∵BD＝CD，
∴OD是△ABC的中位线，则OD＝12AB.
∵AB＝AO，∴OD＝12AO.
∴在Rt△ABC中，tan∠OAD＝ODOA＝12.

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