专题04 几何图形初步
 
1． 几何图形的分类
 
在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.
2．立体图形与平面图形的相互转化
（1）立体图形的平面展开图：
把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．
（2）从不同方向看：
主（正）视图---------从正面看
几何体的三视图   左视图-----从左（右）边看
俯视图---------------从上面看
3.直线，射线与线段的区别与联系
 
4. 基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
5.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=a，如下图：
 
6．线段的比较与运算
（1）线段的比较：
  比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD.
 
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
 
7．角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
 
（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
（4）角的分类
∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360°

 

（5）画一个角等于已知角
（i）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（ii）借助量角器能画出给定度数的角.
（iii）用尺规作图法.
8．角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2= ∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
 
9．角的互余互补关系
 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.+
10．方位角
  以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正   北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
 
考点一、线段的性质
例1（2017•随州）某同用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图）， 发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数知识是
 
A．两点之间线段最短        B．两点确定一条直线  
C．垂线段最短              D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】A
 
【名师点睛】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
考点二、直线的性质
例2（2017•黔南州）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根 木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数原理是
 
A．两点之间，线段最短          B．两点确定一条直线
C．垂线段最短                  D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
【答案】B
【解析】建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉 一条直的参照线，这种做法运用到的数原理是：两点确定一条直线．故选：B．
【名师点睛】此题主要考查了直线的性质，正确把握直线的性质联系实际生活是解题 关键．
考点三、线段有关的计算
例3 （2017•河北）在一条不完整的数轴上从左到右有点 A，B，C，其中 AB=2， BC=1，如图所示，设点 A，B，C 所对应数的和是 p．
（1）若以 B 为原点，写出点 A，C 所对应的数，并计算 p 的值；若以 C 为原点，p 又是多少？
（2）若原点 O 在图中数轴上点 C 的右边，且 CO=28，求 p．
 
 
【名师点睛】本题主要考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点 间的线段的长度叫两点间的距离．
考点四、角的大小计算
例4 （2017•河池）如图，点 O 在直线 AB 上，若∠BOC=60°，则∠AOC 的大小是
 
A．60°     B．90°     C．120°    D．150°
【答案】C
【解析】∵点 O 在直线 AB 上，∴∠AOB=180°，又∵∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，故选：C．
【名师点睛】本题主要考查了角的概念以及平角的定义的运用，解题时注意：平角等 于 180°．
考点五、方位角
例5（2017•河北）如图，码头 A 在码头 B 的正西方向，甲、乙两船分别从 A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东 35°，为避免行进中甲、乙 相撞，则乙的航向不能是
 
A．北偏东 55°       B．北偏西 55° 
C．北偏东 35°       D．北偏西 35°
【答案】D
【解析】∵甲的航向是北偏东  35°，为避免行进中甲、乙相撞，∴乙的航向不能是北偏西 35°， 故选 D．
【名师点睛】本题主要考查的是方向角问题，理解方向角的定义是解决本题的关键．
 
一、选择题
1．从左边看图1中的物体，得到的是图2中的
 
【答案】B 
【解析】从左边看，圆台被遮住一部分，故选B．
2．如图所示是正方体的一种平面展开图，各面都标有数，则标有数“-4”的面与其对面上的数之积是
 
A．4        B．12       C．-4        D．0
【答案】B 
【解析】由正方体的平面展开图可知，标有数-4的面的对面是标有数-3的面，故两个数之积为12．
3． 如图，田亮同用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数知识是
 
A．垂线段最短
B．经过一点有无数条直线
C．经过两点，有且仅有一条直线
D．两点之间，线段最短
【答案】D； 
 
4．如图所示，点O在直线AB上，∠COB＝∠DOE＝90°，那么图中相等的角的对数是
 
A．3       B．4        C．5       D．7
【答案】C 
【解析】因为∠COB＝90°，所以∠BOD+∠COD＝90°，即∠BOD＝90°-∠COD．因为∠DOE＝90°，所
以∠EOC+∠COD＝90°，即∠EOC＝90°-∠COD，所以∠BOD＝∠EOC．同理∠AOE＝∠COD．又
因为∠AOC  ＝∠COB＝∠DOE＝90°(∠AOC＝∠COB，∠AOC＝∠DOE，∠COB＝∠DOE)，所以
图中相等的角有5对.
故选C．
5．如图所示的图中有射线
A．3条    B．4条    C．2条    D．8条
【答案】D
【解析】根据射线的定义可知，图中有8条射线.
6．在地理课堂上，老师组织生进行寻找北极星的探究活动时，李佳同使用了如图所示的半圆仪，则
   下列四个角中，最可能和∠AOB互补的角为
 
A．  B．  C．  D．
【答案】D．
【解析】根据图形可得∠AOB大约为135°，∴与∠AOB互补的角大约为45°，综合各选项D符合．
7．十点一刻时，时针与分针所成的角是
A．112°30′       B．127°30′       C．127°50′      D．142°30′
【答案】D 
【解析】一刻是15分钟，十点一刻，即10点15分时，时针与分针所成的角为： ＝142.5°＝142°30′，故选D．
8．在海面上有A和B两个小岛，若从A岛看B岛是北偏西42°，则从B岛看A岛应是
A．南偏东42°      B．南偏东48°      C．北偏西48°     D．北偏西42°
【答案】A 
【解析】方位角存在这样的规律：甲、乙两地之间的方位角，方向相反，角度相等．由此可知从B岛看A岛的方向为南偏东42°，故选A．
二、填空题
9．把一条弯曲的公路改为直道，可以缩短路程，其理由是________．
【答案】两点之间，线段最短
【解析】本题是应用线段的性质解释生活中的现象，由于这是两点之间连线长度的比较，符合“两点之间线段最短”．
10．已知∠α＝30°18′，∠β＝30.18°，∠γ＝30.3°，则相等的两角是________．
【答案】∠α和∠γ 
【解析】 ，于是∠α＝∠γ．
11．用平面去截一个几何体，如果得出的横截面是圆形，那么被截的几何体是________(填一个答案即可)．
【答案】圆柱(圆锥、圆台、球体等) 
【解析】答案不唯一，例如用平面横截圆锥即可得到圆形．
12．如图是一个正方体的展开图，和C面的对面是　　面．
 
【答案】F．
【解析】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“B”与面“D”相对，面“A”与面“E”相对， “C”与面“F ”相对.
13．若∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，则∠2＝∠3，其根据是________．
【答案】同角的余角相等 
【解析】根据余角的性质解答问题．
14．若∠α是它的余角的2倍，∠β是∠α的2倍，那么把∠α和∠β拼在一起(有一条边重合)组成的角_______度．
【答案】60度或180 
【解析】先求出∠α=60°，∠β=120°；再分∠α在∠β内部和外部两种情况来讨论．
15.一副三角板如图摆放，若∠BAE=135 °17′，则∠CAD的度数是               .
 
【答案】44°43′；
【解析】∠BAD＋∠CAE＝180°，即∠BAE＋∠CAD＝180°，所以     ∠CAD＝180°－135°17′＝44°43′．
16.如下图，点A、B、C、D代表四所村庄，要在AC与BD的交点M处建一所“希望小”，请你说明选择校址依据的数道理                      .
 
【答案】两点之间，线段最短．
【解析】根据两点之间，线段最短可知，校应该建在A、B、C、D四个村庄连线的交点上.
三、解答题
17.如图，已知点C为AB上一点，AC=12cm，CB= AC，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．
 
 
18．如图，∠AOB=90°，∠AOC是锐角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求∠DOE的度数．
 
 
 
19．在一张城市地图上，如图所示，有校、医院、图书馆三地，图书馆被墨水染黑，具体位置看不清，但知道图书馆在校的北偏东45°方向，在医院的南偏东60°方向，你能确定图书馆的位置吗?
 
【解析】如图所示．在医院A处，以正南方向为始边，逆时针转60°角，得角的终边射线AC．在校B处，  以正北方向为始边，顺时针旋转45°角，得角的终边射线BD．AC与BD的交点为点O，则点O就是图书馆的位置．
 
20．如图所示，线段AB＝4，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA、OB的中点，小明据此很轻松地求得CD＝2．在反思过程中突发奇想：若点O运动到AB的延长线上，原来的结论“CD＝2”是否仍然成立?请帮小明画出图形并说明理由．
 
【解析】原有的结论仍然成立，理由如下：当点O在AB的延长线上时，如图所示，
CD＝OC－OD＝ (OA－OB)＝ AB＝ ．
 

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