基本不等式

编辑: 逍遥路 关键词: 高二 来源: 高中学习网


第04讲: 基本不等式
高考《考试大纲》的要求:
① 了解基本不等式的证明过程
② 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
(一)基础知识回顾:
1.定理1. 如果a,b ,那么 ,(当且仅当_______时,等号成立).

2.定理2(基本不等式):如果a,b>0,那么______________(当且仅当_______时,等号成立).
称_______为a,b的算术平均数,_____为a,b的几何平均数。基本不等式又称为________.
3. 基本不等式的几何意义是:_________不小于_________. 如图

4.利用基本不等式求最大(小)值时,要注意的问题:(一“正”;二“定”;三“相等”)
即: (1)和、积中的每一个数都必须是正数;
(2)求积的最大值时,应看和是否为定值;求和的最小值时,应看积是否为定值,;
简记为:和定积最_____,积定和最______.
(3)只有等号能够成立时,才有最值。
(二)例题分析:
例1.(2006陕西)设x、y为正数,则有(x+y)(1x+4y)的最小值为( )
A.15 B.12C.9 D.6

例2.函数 的值域是_________________________.


 例3(2001江西、陕西、天津,全国、理) 设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为 ,画面的上、下各有8cm空白,左、右各有5cm空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张的面积最小?

(三)基础训练:
1.设 且 则必有( )
(A) (B)
(C) (D)

2.(2004湖南理)设a>0, b>0,则以下不等式中不恒成立的是( )
(A) ≥4 (B) ≥
(C) ≥ (D) ≥
3.(2001春招北京、内蒙、安徽、理)若 为实数,且 ,则 的最小值是( )
(A)18 (B)6(C) (D)

4. 已知a,b ,下列不等式中不正确的是( )
 (A) (B)
(C) (D)
5.(2005福建)下列结论正确的是( )
A.当 B.
C. 的最小值为2D.当 无最大值

6. 已知两个正实数 满足关系式 , 则 的最大值是_____________.


7.若 且 则 中最小的一个是__________.


8.(2005北京春招、理)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量 (千辆/小时)与汽车的平均速度 (千米/小时)之间的函数关系为: 。
(1)在该时段内,当汽车的平均速度 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(精确到 千辆/小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车站的平均速度应在什么范围内?

(四)拓展训练:
1.(2000全国、江西、天津、广东)若 ,P= ,Q= ,R= ,则( )
(A)R<P<Q  (B)P<Q<R (C)Q<P<R  (D)P<R<Q


2.若正数a、b满足ab=a+b+3,分别求ab与a+b的取值范围。

参考答案
第04讲: 基本不等式
(二)例题分析: 例1. C; 例2. ;
例3解:设画面高为x cm,宽为λx cm,则λ x2 = 4840.
设纸张面积为S,有S = (x+16) (λ x+10)= λ x2+(16λ+10) x+160,
将 代入上式,得 .
当 时,即 时,S取得最小值.
此时,高: ,宽: .
答:画面高为88cm,宽为55cm时,能使所用纸张面积最小.
(三)基础训练: 1. B; 2. B; 3. B; 4. B 5.B; 6. 2 ; 7.
8. 解:(Ⅰ)依题意,

(Ⅱ)由条得
整理得v2-89v+1600<0, 即(v-25)(v-64)<0, 解得25<v<64.
答:当v=40千米/小时,车流量最大,最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时.

(四)拓展训练:1. B;
2.解:因为a、b是正数,所以 ,即 ,
法一:令 ,则 ,由ab=a+b+3≥2 +3,得 ,(t>0)
解得t≥3, 即 ,所以ab≥9,a+b=ab-3≥6.
法二:令 ,则由ab=a+b+3可知a+b+3 = ,得 ,(x>0)
整理得 ,又x>0,解得x≥6,即a+b≥6,所以ab=a+b+3≥9.

答: ab与a+b的取值范围分别是 与 。




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