函数的极值与最值

编辑: 逍遥路 关键词: 高二 来源: 高中学习网


23.函数的极值与最值
一、前准备:
【自主梳理】
1.若函数f(x)在点x0的附近恒有 (或 ),则称函数f(x)在点x0处取得极大值(或极小值),称点x0为极大值点(或极小值点).
2.求可导函数极值的步骤:
①求导数 ;
②求方程 的根;
③检验 在方程 根的左右的符号,如果左正右负,那么函数y=f(x)在这个根处取得极 值;如果左负右正,那么函数y=f(x)在这个根处取得极 值.
3.求可导函数最大值与最小值的步骤:
①求y=f(x)在[a,b]内的极值;
②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个是最小值。
【自我检测】
1.函数 的极大值为 .
2.函数 在 上的最大值为 .
3.若函数 既有极大值又有极小值,则 的取值范围为 .
4.已知函数 ,若对任意 都有 ,则 的取值范围是 .
(说明:以上内容学生自主完成,原则上教师堂不讲)

二、堂活动:
【例1】填空题:
(1)函数 的极小值是__________.
(2)函数 在区间 上的最小值是________ ;最大值是__________.
(3)若函数 在 处取极值,则实数 = _.
(4)已知函数 在 时有极值0,则 = _.

【例2】设函数 .
(Ⅰ)求 的最小值 ;
(Ⅱ)若 对 恒成立,求实数 的取值范围.

【例3】如图6所示,等腰 的底边 ,高 ,点 是线段 上异于点 的动点,点 在 边上,且 ,现沿 将 折起到 的位置,使 ,记 , 表示四棱锥 的体积.
(1)求 的表达式;
(2)当 为何值时, 取得最大值?

堂小结
三、后作业
1.若 没有极值,则 的取值范围为 .?
2.如图是 导数的图象,对于下列四个判断:?
① 在[-2,-1]上是增函数;?
② 是 的极小值点;?
③ 在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数;?
④ 是 的极小值点.?
其中判断正确的是 .?
3.若函数 在(0,1)内有极小值,则 的取值范围为 .
4.函数 ,在x=1时有极值10,则 的值为 .
5.下列关于函数 的判断正确的是 .
①f(x)>0的解集是{x0<x<2};?
②f(- )是极小值,f( )是极大值;?
③f(x)没有最小值,也没有最大值.?
6.设函数 在 处取得极值,则 的值为 .
7.已知函数 ( 为常数且 )有极值9,则 的值为 .
8.若函数 在 上的最大值为 ,则 的值为 .

9.设函数 在 及 时取得极值.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若对于任意的 ,都有 成立,求c的取值范围.

10.已知函数 ,求函数在[1,2]上的最大值.

四、纠错分析
错题卡题 号错 题 原 因 分 析

参考答案:
【自我检测】
1.7 2. 3. 4.
例1:(1)0 (2)1, (3)3 (4)11

例2:解:(Ⅰ) ,
当 时, 取最小值 ,
即 .
(Ⅱ)令 ,
由 得 , (不合题意,舍去).
当 变化时 , 的变化情况如下表:


递增极大值
递减
在 内有最大值 .
在 内恒成立等价于 在 内恒成立,
即等价于 ,
所以 的取值范围为 .

例3:解:(1)由折起的过程可知,PE⊥平面ABC, ,
V(x)= ( )
(2) ,所以 时, ,V(x)单调递增; 时 ,V(x)单调递减;因此x=6时,V(x)取得最大值 ;


后作业
1.[-1,2] 2.②③ 3.0<b<1 4.a=-4,b=11
5.?①② 6.1 7.2 8.
9.解:(Ⅰ) ,
因为函数 在 及 取得极值,则有 , .

解得 , .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,

当 时, ;
当 时, ;
当 时, .
所以,当 时, 取得极大值 ,又 , .
则当 时, 的最大值为 .
因为对于任意的 ,有 恒成立,
所以  ,
解得  或 ,
因此 的取值范围为 .

10.解: ∵ ,∴
令 ,即 ,得 .?
∴f(x)在(-∞,0), 上是减函数,在 上是增函数.?
①当 ,即 时, 在(1,2)上是减函数,?∴ .
②当 ,即 时, 在 上是减函数,
?∴ .
③当 ,即 时, 在 上是增函数,?
∴ .
综上所述,当 时, 的最大值为 ,?
当 时, 的最大值为 ,
当 时, 的最大值为 .




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