2.5平面向量应用举例

一、教材分析
向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、目标
1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐
标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题
2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的
积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、重点难点
重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题.
难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决.
四、学情分析
在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生说，非常熟悉的内容讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教学方法
1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案
3.新授教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、前准备
1.学生的学习准备：预习本节本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的
应用
2.教师的教学准备：前预习学案，内探究学案，后延伸拓展学案。
七、时安排：1时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标
教师首先提问：（1）若O为 重心,则 + + =
（2）水渠横断面是四边形 , = ,且 = ,则这个四边形
为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?
(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？
教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出。
（设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。）
（三）合作探究、精讲点拨。
探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若 ，则 ，且 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．
教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行 中，设 ＝ , ＝ ，则 （平移）， ， （长度）．向量 ， 的夹角为 .因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题。通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果＂翻译＂成几何关系．本节，我们就通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用
例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
已知：平行四边形ABCD．
求证： ．
分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到 ， ，我们计算 和 ．
证明：不妨设 a， b，则
a+b， a-b， a2， b2．
得 ( a+b)•( a+b)
= a•a+ a•b+b•a+b•b= a2+2a•b+b2． ①
同理　　　 a2-2a•b+b2． ②
①+②得 2(a2+b2)=2( )．
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
师：你能用几何方法解决这个问题吗？
让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况。
师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.
用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤，
⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
⑶把运算结果“翻译”成几何关系．
变式训练： 中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设 （1）证明A、O、E三点共线；（2）用 表示向量 。
例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
分析：由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可．
解：设 a， b，则 a+b．
由　 与 共线，因此。存在实数m，使得 =m(a+b)．
又　由 与 共线
因此 　存在实数n，使得 =n = n( b- a)．
由 = n ，得m(a+b)= a+ n( b- a)．
整理得　　　　　　 a＋ b＝0．
由于向量a、b不共线，所以有　 ，解得 ．
所以　　　　　　　　　　　 ．
同理　　　　　　　　　　　 ．
于是　　　　　　　　　　　 ．
所以　　　　　　　　　　　AR＝RT＝TC．
说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法．
探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.
（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些问题是为什么？
师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．
例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？
分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、 三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了问题的数学解释．
解：不妨设F1=F2， 由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到
F1= ．
通过上面的式子我们发现，当 由 逐渐变大时， 由 逐渐变大， 的值由大逐渐变小，因此，F1有小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．
师：请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：
⑴ 为何值时，F1最小，最小值是多少？
⑵F1能等于G吗？为什么？
例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度 m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度v1=10km/h，水流的速度v2=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？
分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）
解： = (km/h)，
所以， (min)．
答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min．
本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的穿必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系侯，本例就容易解决了。
变式训练：两个粒子A、B从同一发射出，在某一时刻，它们的位移分别为 ，（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s;(2)计算s在 方向上的投影。
九、板书设计
§2.5 平面向量应用举例
例⒈　　 用向量法解平面几何 例2 变式训练
问题的“三步曲”
例3. 例4
变式训练
十、教学反思
本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力.
十一、学案设计（见下页）

2.5平面向量应用举例

前预习学案
一、预习目标
预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。
二、预习内容
阅读本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。另外，在思考一下几个问题：
1.例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？
2.利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？
3． 例3中，⑴ 为何值时，F1最小，最小值是多少？
⑵F1能等于G吗？为什么？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容

内探究学案
一、学习内容
1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析
几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.
2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.
二、学习过程
探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若 ，则 ，且 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？

（２）举出几个具有线性运算的几何实例．

例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
已知：平行四边形ABCD．
求证： ．

试用几何方法解决这个问题

利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？
（1）建立平面几何与向量的联系，
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
变式训练： 中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设
（1）证明A、O、E三点共线；
（2）用 表示向量 。

例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的
中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些力的问题是怎么回事？

例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？

请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：
⑴ 为何值时，F1最小，最小值是多少？
⑵F1能等于G吗？为什么？

例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度 m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度v1=10km/h，水流的速度v2=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？

变式训练：两个粒子A、B从同一发射出，在某一时刻，它们的位移分别为
，（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s; (2)计算s在 方向上的投影。

三、反思总结
结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题
代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。
本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决实际问题的步骤。
四、当堂检测
1.已知 ，求边长c。
2.在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长。

3.在平面上的三个力 作用于一点且处于平衡状态， 的夹角为 ，求：（1） 的大小；（2） 与 夹角的大小。

后练习与提高
一、选择题
1.给出下面四个结论：
①若线段AC=AB+BC，则向量 ；
②若向量 ，则线段AC=AB+BC；
③若向量 与 共线，则线段AC=AB+BC;
④若向量 与 反向共线，则 .
其中正确的结论有 （ ）
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.河水的流速为2 ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 的速度驶向对岸，则小
船的静止速度大小为 （ ）
A.10 B. C. D.12
3.在 中，若 =0，则 为 ( ）
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定
二、填空题
4.已知 两边的向量 ，则BC边上的中线向量 用 、 表示为
5.已知 ，则 、 、 两两夹角是

后练习答案
1.B 2.B 3.C 4.

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