一、
1．函数在某一点的导数是( )
A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
[答案] C
[解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故应选C.
2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
[答案] B
[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3?32
＝18Δt＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt.
当Δt→0时，ΔsΔt→18，故应选B.
3．y＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2
C．2＋Δx D．1
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，
∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2?Δx＋(Δx)2
∴ΔyΔx＝2＋Δx
当Δx→0时，ΔyΔx→2
∴f′(1)＝2，故应选B.
4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为( )
A．37 B．38
C．39 D．40
[答案] D
[解析] ∵ΔsΔt＝4(5＋Δt)2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt，
∴s′(5)＝limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (40＋4Δt)＝40.故应选D.
5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( )
A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量
B.ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率
C．f(x)在x0处的导数记为y′
D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)
[答案] C
[解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C.
6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′x＝x0，即( )
A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)
B．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]
C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx
D．f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx
[答案] D
[解析] 由导数的定义知D正确．故应选D.
7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于( )
A．4a B．2a＋b
C．b D．4a＋b
[答案] D
[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－cΔx
＝4a＋b＋aΔx，
∴y′x＝2＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (4a＋b＋a?Δx)＝4a＋b.故应选D.
8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )
A．圆 B．抛物线
C．椭圆 D．直线
[答案] D
[解析] 当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.
9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为( )
A．0 B．3
C．－2 D．3－2t
[答案] B
[解析] ∵ΔsΔt＝3(0＋Δt)－(0＋Δt)2Δt＝3－Δt，
∴s′(0)＝limΔt→0 ΔsΔt＝3.故应选B.
10．设f(x)＝1x，则limx→a f(x)－f(a)x－a等于( )
A．－1a B.2a
C．－1a2 D.1a2
[答案] C
[解析] limx→a f(x)－f(a)x－a＝limx→a 1x－1ax－a
＝limx→a a－x(x－a)?xa＝－limx→a 1ax＝－1a2.
二、题
11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则
limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝________；
limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________.
[答案] －11，－112
[解析] limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)Δx
＝－limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝－f′(x0)＝－11；
limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝－12limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx
＝－12f′(x0)＝－112.
12．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．
[答案] 0
[解析] ∵Δy＝1＋Δx＋11＋Δx－1＋11
＝Δx－1＋1Δx＋1＝(Δx)2Δx＋1，
∴ΔyΔx＝ΔxΔx＋1.∴y′x＝1＝limΔx→0 ΔxΔx＋1＝0.
13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．
[答案] 2
[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)＋4－2a－4Δx＝a，
∴f′(1)＝limΔx→0 ΔyΔx＝a.∴a＝2.
14．已知f′(x0)＝limx→x0 f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则limx→3 2x－3f(x)x－3的值是________．
[答案] 8
[解析] limx→3 2x－3f(x)x－3＝limx→3 2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3)x－3
＝limx→3 2x－3f(3)x－3＋limx→3 3(f(3)－f(x))x－3.
由于f(3)＝2，上式可化为
limx→3 2(x－3)x－3－3limx→3 f(x)－f(3)x－3＝2－3×(－2)＝8.
三、解答题
15．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．
[解析] 由导数定义有f′(x0)
＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx
＝limΔx→0 (x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→0 Δx(2x0＋Δx)Δx＝2x0，
16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
[解析] 位移公式为s＝12at2
∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at20＝at0Δt＋12a(Δt)2
∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，
∴limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 at0＋12aΔt＝at0，
已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，
∴at0＝800m/s.
所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.
17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求(1)ΔyΔx (2)f′(1)．
[解析] (1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx
＝(1＋Δx)2＋3－12－3Δx＝2＋Δx.
(2)f′(1)＝limΔx→0 f(1＋Δx)－f(1)Δx
＝limΔx→0 (2＋Δx)＝2.
18．函数f(x)＝x(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．
[解析] f(x)＝x＋x2 (x≥0)－x－x2 (x<0)
Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)
＝Δx＋(Δx)2 (Δx>0)－Δx－(Δx)2 (Δx<0)
∴limx→0＋ ΔyΔx＝limΔx→0＋ (1＋Δx)＝1，
limΔx→0－ ΔyΔx＝limΔx→0－ (－1－Δx)＝－1，
∵limΔx→0－ ΔyΔx≠limΔx→0＋ ΔyΔx，∴Δx→0时，ΔyΔx无极限．
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