福建师大附中2015—2015学年度上学期期末考试高二数学文试题（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I卷和第II卷两部分，请将答案填写在答卷上，考试结束后只交答案卷.第I卷 共60分一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．抛物线的准线方程是（ *** ） A．B．C． D．2.已知，动点满足：，则动点的轨迹为（ *** ）A.椭圆 B. 线段 C.两条射线 D. 双曲线3. 下列有关命题的说法正确的是（ *** ） A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B．“”是“”的必要不充分条件．C．命题“使得”的否定是：“ 均有”．D．命题“若，则”的逆否命题为真命题4. 设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是， 分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（ *** ）A．2 B．18 C．2或18 D．165．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ *** ）A.-2-1 C. -16. 设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且，则的面积是（ *** ）A.1 B. C.2 D. 7.已知点是椭圆上一点，为椭圆的一个焦点，且 轴，焦距，则椭圆的离心率是（ *** ）A. B.－1 C.－1 D.－8.的（ *** ）A B．必要不充分条件 C．充要条件 D．都不对9. 已知抛物线与直线相交于A、B两点，其中A点的坐标 是(1，2)。如果抛物线的焦点为F，那么等于（ *** ）A． 5 B．6 C． D．710. 已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ *** ）A. B. C. D. 11. 已知函数的图象是下列四个图象之一,且其导函数 的图象如右图所示,则该函数的图象是（ *** ）12．已知动点在椭圆上,若点坐标为,,且则的最小值是（ *** ） A． B． C． D．第Ⅱ卷共90分二、填空题：（每小题4分，共16分）13． *** ； *** 14. 点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是 *** .15. 已知则的最小值是 *** .16.若抛物线的焦点是,准线是,则经过点、（4，4）且与相切的圆共有 *** 个.三、解答题：（本大题共6小题，共74分）17．（本题满分12分）已知等差数列满足。（1）求通项；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.18. （本小题满分12分）设的内角所对边分别是，已知,(1)若，求;(2)若成等比数列，请判断的形状.19.（本小题满分12分）已知函数。 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标. 20. （本题满分12分）已知分别为椭圆的左、右两个焦点，一条直线经过点与椭圆交于两点, 且的周长为8。⑴求实数的值； ⑵若的倾斜角为，求的值。21. （本小题共12分）一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽AB＝4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．（1）建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；（2）试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？???????22. （本题满分14分） 如图，椭圆的顶点为焦点为 S□ = 2S□.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线过(1,1),且与椭圆相交于两点，当是的中点时，求直线的方程． (Ⅲ)设为过原点的直线，是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于两点的直线，,是否存在上述直线使以为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：1－12：BBDCD ACADA BB 二、填空题： 13、, 14、 15、3 16、2三、解答题： 20. 解：由椭圆的定义，得，， ………2分又，所以的周长． ……………4分又因为的周长为8，所以， 则． ……………5分⑵ 由⑴得，椭圆， ， ………………………7分因为直线的倾斜角为，所以直线斜率为，故直线的方程为． ……………………8分由消去，得， ……………9分（法一：）法二：设，解得，，……10分所以则 …………12分21. 【解析】（Ⅰ）如图：以抛物线的顶点为原点，中垂线为轴建立直角坐标系……1分则 ……2分设抛物线的方程为将点代入得 ……3分所以抛物线弧AB方程为（） ……4分（Ⅱ）解法一：设等腰梯形的腰与抛物线相切于 则过的切线的斜率为 ，所以切线的方程为：，即，令，得，令，得， 所以梯形面积 ……10分当仅当，即时，成立此时下底边长为 答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少． ……12分?解法二：设等腰梯形上底（较短的边）长为米，则一腰过点，可设此腰所在直线方程为， 联立，得， 令，得，或（舍）， 故此腰所在直线方程为， 令，得， 故等腰梯形的面积： ……10分当且仅当，即时，有 此时，下底边长 答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少． ……12分22、解：（Ⅰ）依题意有…………1分又由S□ = 2S□.有，…………2分解得，…… 3分，故椭圆C的方程为.………4分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 则，，两式相减得：． ∵是的中点，∴ 可得直线的斜率为，7分 当直线的斜率不存在时，将x=1代入椭圆方程并解得，，这时的中点为，∴x=1不符合题设要求．…………8分 综上，直线的方程为 …………9分 （Ⅲ）设两点的坐标分别为，假设满足题设的直线存在，（i）当不垂直于轴时，设的方程为，由与垂直相交于点且得，即，…………10分 又∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB, ∴.将代入椭圆方程，得，由求根公式可得， ④. ⑤，将④，⑤代入上式并化简得，⑥将代入⑥并化简得，矛盾.即此时直线不存在. …………12分（ii）当垂直于轴时，满足的直线的方程为或， 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 1 1 每天发布最有价值的DCBAAB（图1）AB（图2）AB（1）福建省师大附中2015-2016学年高二上学期期末考试数学文试题
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