北京市第十八中学2014-2014学年第一学期高二数学期末模拟考试
数学(理)试卷
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、 ：（共8道小题，每小题5分，共40分，选对一项得5分，多选则该小题不得分。）
1．下列曲线中离心率为 的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列有关命题的说法中错误的是（ ）
A．若 为假命题，则 、 均为假命题.
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件.
C．命题“若 则 ”的逆否命题为：“若 则 ”.
D．对于命题 使得 ＜0，则 ，使 .
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90 ，PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有（ ）个直角三角形
A.4 B.3 C.2 D.1
4．曲线 在点 处的切线方程为 ( )
A． x?y?2=0 B． x+y?2=0 C．x+4y?5=0 D．x?4y?5=0
5． 中， 、 ，则 AB边的中线对应方程为( )
A． B． C． D．
6．已知P为△ABC所在平面α外一点，侧面PAB、PAC、PBC与底面ABC所成的二面角都相等，则P点在平面α内的射影一定是△ABC的( )
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
7．如图，椭圆 上的点 到焦点 的距离为2，
为 的中点，则 （ 为坐标原点）的值为( )
A．8 B．2 C． 4 D．
8．已知△ 的顶点 、 分别为双曲线 的左右焦点，顶点 在双曲线
上，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共60分）
二、题：（共6道小题，每小题5分，共30分）
9．函数f (x)=x?ex的导函数f ?(x)= ；已知函数 在区间 内的图象如图所示，记
，则
之间的大小关系为 。（请用“>”连接）。
10．已知 ， 为两平行平面的法向量，则 。
11．直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且 DAB=60 的菱形， ，则二面角 的大小为 。
12．命题“ ，使 成立”是假命题，则实数 的取值范围为 。
13．以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为 ；设 和 为双曲线 ( )的两个焦点, 若 ， 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 ；经过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 两点，若 ，则线段AB的长等于__________．
14．已知命题p：存在 ，使 ，命题q： 的解集是 ，
下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；
④命题“p或q”是假命题，其中正确的有 。
三、解答题：（共4道小题，6+9+8+7分）
15．已知函数 图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为 ，求a,b 的值。
16．如图四棱锥 的底面是正方形， ，点E在棱PB上，O为AC与BD的交点。（1）求证：平面 ； （2）当E为PB中点时，求证： //平面PDA， //平面PDC。（3）当 且E为PB的中点时，求 与平面 所成的角的大小。
17．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点 ，点 . (1) 求椭圆C的方程；
(2) 已知圆 ，双曲线 与椭圆 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆
相切，求双曲线 的方程．
18．已知顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为 ，求抛物线的方程.
高二数学期末模拟考试答案
题号12345678
答案C D A B B A C D
二、题：
9．(1+x)ex ， ；
10． ；
11．-60 ；
12．[0, 3] ；
13． ， ，7； 14．①②③④。
三、解答题：（共4道小题，6+9+8+7分）
15．已知函数 图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为 ，求a,b 的值。
解： ，
所以 ，解得 。
16．如图四棱锥 的底面是正方形， ，点E在棱PB上，O为AC与BD的交点。（1）求证：平面 ； （2）当E为PB中点时，求证： //平面PDA， //平面PDC。（3）当 且E为PB的中点时，求 与平面 所成的角的大小。
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵ ，
∴PD⊥AC，
∴AC⊥平面PDB，
又 平面AEC
∴平面 .
（2）∵四边形ABCD是正方形， ，在 中，又
// ，又
//平面PDA，同理可证 //平面PDC。
解：（3）∵ ， ，又
所以，可以D为坐标原点建立如图的空间直角坐标系D-xyz。设AB=1.则
D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0， ），
从而， ， ，
设平面PBC的一个法向量为 。由 得
令z=1，得 。设AE与平面PBC所成的角 ，则
与平面PBC所成的角的正弦值为 。
17．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点 ，点 . (1) 求椭圆C的方程；
(2) 已知圆 ，双曲线 与椭圆 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆
相切，求双曲线 的方程．
解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为 ，
从而 有解得
故椭圆C的方程为
(2) 椭圆C：x250＋y225＝1的两焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，
故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则G的渐近线方程为y＝±bax，
即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25，
圆心为(0,5)，半径为r＝3.∴5aa2＋b2＝3?a＝3，b＝4.
∴双曲线G的方程为x29－y216＝1.
18．已知顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为 ，求抛物线的方程.
解：依题意可设抛物线方程为： （a可正可负），与直线y=2x+1截得的弦为AB；
则可设A（x1,y1）、B（x2,y2）联立 得
即
得：a=12或-4（6分）
所以抛物线方程为 或
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