武汉二中201学年学期高年级期中考试 试卷考试时间：201年月日 上午：—11： 试卷满分：分1. 三个数208，351，429的最大公约数是（ ）A．65B．91C．26D．132. 把389转化成四进制数时，其末位是（ ）A．2B．1C．3D．03. 用秦九韶算法计算多项式当的值时，先算的是（ ）A．B．C．D．4. 若实数 满足 ，则直线 必过定点（ ）A．（-2 ，8）B．（2 ,8）C．（-2 ，-8）D．（2 ，-8）5. 如图，矩形和矩形中，矩形可沿任意翻折，分别在上运动，当不共线，不与重合，且时，有（ ）A．平面B．与平面相交C．平面D．与平面可能平行，也可能相交6. 设为整数，若和所得的余数相同，则称和对模同余，记为已知，则的值可以是（ ） A．B．C．D．7. 设区间是方程的有解区间，用二分法求出方程在区间上的一个近似解的流程图如图，设，现要求精确度为，图中序号①，②处应填入的内容为（ ）A．B．C．D．8. 有以下四个命题：①从1002个学生中选取一个容量为20的样本，用系统抽样的方法进行抽取时先随机剔除2人，再将余下的1000名学生分成20段进行抽取，则在整个抽样过程中，余下的1000名学生中每个学生被抽到的概率为；②线性回归直线方程必过点（）；③某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数为17，中位数为15；④某初中有270名学生，其中一年级108人，二、三年级各81人，用分层抽样的方法从中抽取10人参加某项调查时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…270.则分层抽样不可能抽得如下结果：30，57，84，111，138，165，192，219，246，270. 以上命题正确的是（ ）A．①②③B．②③C．②③④D．①②③④9. 某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为（ ）A．720B．520C．600D．36010. 已知圆C的方程为，为定点，过A的两条弦互相垂直，记四边形面积的最大值与最小值分别为 ，则是（ ）A．200B．100C．64D．3611. 已知，，若向量共面，则＝ .12. 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.13. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是 . 14. 已知圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则的最大值是 . 15. 利用计算机随机模拟方法计算与所围成的区域的面积时，可以先运行以下算法步骤：第一步：利用计算机产生两个在0～1区间内的均匀随机数第二步：对随机数实施变换：得到点第三步：判断点的坐标是否满足第四步：累计所产生的点的个数，及满足的点A的个数第五步：判断是否小于（一个设定的数）.若是，则回到第一步，否则，输出并终止算法.（1）点落在上方的概率计算公式是 ； （2）若设定的，且输出的，则用随机模拟方法可以估计出区域的面积为 （保留小数点后两位数字）. 三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16. (本小题满分12分)已知（N*）展开式中二项式系数和为256.（1）此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由。（2）求展开式中系数最小的项.17. (本小题满分12分)为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.求抽取的3名志愿者中恰有2名年龄低于35岁的概率.18. (本小题满分12分) 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是（1）求的值；（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为，第二次取出的小球标号为（i）记“”为事件,求事件的概率；（ii）在区间[0，2]内任取2个实数，求事件“恒成立”的概率.19. (本小题满分12分)在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面平面，，点在棱上.（1）若是的中点，求证：平面（2）若二面角的余弦值为，求的长度.20. (本小题满分13分) 已知点,平面内的动点满足(为常数，>0).（1）求点的轨迹的方程，并指出其表示的曲线的形状.（2）当时，的轨迹与轴交于两点，是轨迹上异于的任意一点，直线，直线与直线交于点，直线与直线交于点.求证：以为直径的圆总过定点，并求出定点坐标.21. (本小题满分14分)运行如图所示的程序框图，将输出的依次记作输出的依次记作 ；输出的依次记作（）（1）求数列的通项公式；（2）求 的值（3）求证：武汉二中014学年学期高年级期中考试 试卷一、选择题（共50分）题号答案DBCDADBCCB二、填空题（共25分）11. 3 12.6.8 13. 72+ 14. 15. , 35.64三、解答题（共75分）16.解：（1）由题意，二项式系数和为解得通项.若为常数项，当且仅当，即，且Z，这是不可能的，所以展开式中不含常数项.若为有理项，当且仅当Z，且，即，故展开式中共有5个有理项.…………………………………………6分（2）设展开式中第项，第项，第项的系数绝对值分别为，若第项的系数绝对值最大，则，解得，故或6.∵时，第6项的系数为负，时，第7项的系数为正，∴系数最小的项为. …………………………12分17.解：（1）∵小矩形的面积等于频率，∴除外的频率和为0.70.∴故在500名志愿者中，年龄在岁的人数为 …………6分（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中“年龄低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名.∴抽取的3名志愿者中恰有2名年龄低于35岁的概率为 …………12分18.解：（1）依题意，得. ………………………………………………4分（2）（i）记标号为0的小球为，标号为1的小球为，标号为2的小球为，则取出2个小球的可能情况有：，共12种，其中满足“”的有4种；，所以所求概率为.……………………………………8分（ii）记“恒成立”为事件B，则事件B等价于“恒成立”，（）可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为＝,而事件B构成的区域为，所以所求的概率为……………………………………12分19.解：（1）连接交于点，连接因为是的中点，为矩形对角线的交点.所以为的中位线，所以因为平面所以 ………………………………6分（2）因为,所以,因为平面平面，且平面平面所以平面以为坐标原点,分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系则.易知平面，所以平面的一个法向量为n1＝（1，0，0），设，易知.设平面的法向量为n2＝（），则有，得n2＝（－2，1，）.所以｜〈n1 ，n2〉｜＝，即解得，或（舍去）.此时 ……………………………………………………12分20.解：（1）设点，由得： 变形整理得：当时，化为，此时轨迹所表示的曲线为直线.当时，化为此时轨迹所表示的曲线是以为圆心，半径为的圆. …………6分（注：没有的情形扣2分）（2）时，的轨迹方程为，此时，设，则直线的方程为：.联立方程，得 同理∴以为直径的圆的方程为，又整理得：.令则有，解得∴以为直径的圆总过定点，且定点坐标为（）……………………13分21．（1）由题意知：……………………4分（2）由题意，当时，此时，当时，综上，…………………………9分（3）当时，此时，当时，由（2）知又即要证明的不等式转化为证明：即证明（注：忽略的情形将转化为的本小问0分）又综上，成立. ……………………14分湖北省武汉二中－学年高二上学期期中考试_数学理试题
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