北京市西城区 — 学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） .1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合，，则集合（ ）（A）（B）（C）（D）2．已知命题：“，”，那么是（ ）　（A），， （B），　（C），（D），3．在平面中，点，，若向量，则实数（ ）（A）（B）（C）（D）4．若坐标原点在圆的内部，则实数m的取值范围是（ ）　（A）（B）　（C）（D）5．执行如图所示的程序框（B）（C）（D）6． 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数,满足（ ）（A）（B）（C）（D）7．定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ） （A） （B） （C） （D） 8.在平面中，记不等式组所表示的平面区域为. 在映射的作用下，区域内的点对应的象为点，则由点所形成的平面区域的面积为（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．，那么______．10．中，，，则______；前17项的和______．11．______．．在△ABC中，，，，______； ______．．　则______；若函数存在两个零点，则实数的取值范围是______．14．为平面内的点集，若对于任意，存在，使得，则称点集满足性质. 给出下列三个点集：；；.其中所有满足性质的点集的序号是______．15．13分）已知函数，，且的最小正周期为.（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）求函数的单调增区间.16．13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组名同学乙组记录中有一个数模糊，无法确认，表示． （）求的值（Ⅲ）当时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点.（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求证：平面BDGH//平面AEF；（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积.18．13分）已知函数，其中.（Ⅰ求的单调区间；（Ⅱ）时，求函数的最小值.19．14分）已知是抛物线的坐标为，直线的斜率为.设抛物线的下方.（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为. 判断四边形是否为梯形，并说明理由.20．13分）设无穷的公比为q，且，表示不超过实数的最大整数（如）,记，数列的前项和为，数列的前项和为.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）证明： （）的充分必要条件为；（）的正整数n，都有，证明：.北京市西城区 — 学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准 .1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．．．．．．．．．． 11． ． 13． 14．12、12分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分，少选得2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．13分） （Ⅰ）解：因为的最小正周期为， 所以 ，解得． ……………… 3分 由 ，得， 即 ， ……………… 4分 所以 ，. 因为 ， 所以. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 ……………… 8分， ………………10分由 ， ………………11分解得 ． ………………12分所以函数的单调增区间为.…………13分16．13分）（Ⅰ）解：， ……………… 3分解得 分：， ……………… 5分，共有10种可能. ……………… 6分时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 7分． ……………… 8分2分”为事件，………… 9分时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有种，，，，，，，，， ………………10分的结果有7种，它们是：，，，，，，. ……………… 11分2分的概率.………………13分17．14分）（Ⅰ）证明：因为四边形是正方形，所以. ……………… 1分又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面. ……………… 4分（Ⅱ）证明：在中，因为分别是的中点， 所以，又因为平面，平面，所以平面. ……………… 6分 设，连接，在中，因为，，所以，又因为平面，平面，所以平面. ……………… 8分又因为，平面， 所以平面平面. ………………10分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ），得 平面， 又因为，四边形的面积，……………11分所以四棱锥的体积. ………………12分同理，四棱锥的体积.所以多面体的体积. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为，，所以．，得．变化时，和的变化情况如下：??……………… 5分故的单调减区间为；单调增区间为．的单调减区间为；单调增区间为．，即时，在上单调递增，故在上的最小值为； ……………… 8分当，即时，在上单调递减， 在上单调递增， 故在上的最小值为；………………10分当，即时，在上单调递减，故在上的最小值为. ………………12分所以函数在上的最小值为 ……13分19．14分）（Ⅰ）解：抛物线. ……………… 1分由题意，得直线的方程为， ……………… 2分令 ，得，即直线与y轴相交于点. ……………… 3分因为抛物线的下方，所以 ，解得 .因为 ，所以 . ……………… 5分（Ⅱ）解：结论：四边形不可能为梯形. ……………… 6分 理由如下：假设四边形为梯形. ……………… 7分由题意，设，，，联立方程 消去y，得， 由韦达定理，得，所以 . ……………… 8分同理，得. ……………… 9分对函数求导，得，所以抛物线在点处的切线的斜率为， ……………… 10分抛物线在点处的切线的斜率为. ………………11分由四边形为梯形，得或.若，则，即， 因为方程无解，所以与不平行. ………………12分若，则，即， 因为方程无解，所以与不平行. ……………13分所以四边形不是梯形，与假设矛盾.因此四边形不可能为梯形. ……………14分20．13分）（Ⅰ）解：因为等比数列的，，所以 ，，. ……………… 1分 所以 ，，. ……………… 2分 则 . ……………… 3分（Ⅱ）证明：（充分性）因为 ， 所以 对一切正整数n都成立. 因为 ，，所以 . ……………… 5分（必要性）因为对于任意的，，当时，由，得； ……………… 6分当时，由，，得.所以对一切正整数n都有. ……………… 7分因为 ，，所以对一切正整数n都有. ……………… 8分（），所以 ，. ……………… 9分因为 ，所以 ，. ………………10分 由 ，得 . ………………11分因为 ， 所以 ，所以 ，即 . ………………13分第 12 页 共 12 页ODHAEGCBGAEHCF2BD是否结束输出Si=i+1开始i=1，S=0228a1098乙组甲组侧(左)视图F北京市西城区—学年度高三第一学期期末数学(文)试题(WORD精校版)
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