2014年苏 北 四 市 高三数 学 试 题数学Ⅰ 必做题部分 （本部分满分160分，时间120分钟）参考公式：，其中是锥体的底面面积，是高．一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．1．设复数为虚数单位,若为实数,则的值为 ▲ ．已知集合，，且，则实数的值是 ▲ ．某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为15的样本，则样本中松树苗的棵数为 ▲ ．4．在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则的概率是 ▲ ．的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ▲ ．的值是 ▲ ． 的定义域为 ▲ ．，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 ▲ ． 中，已知，，且的面积为，则边长为 ▲ ．，则不等式的解集为 ▲ ．的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为 ▲ ．等比数列前项和为，成等差数列，其中，的值为 ▲ ．中，已知，，点分别在边上，且， ．若向量与的夹角为，则的值为 ▲ ．在平面直角坐标系中，动点到两直线和的距离之和为，则的为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分已知向量， (1)若，求的值； 若，求的值本题满分14分中，点分别是棱的中点．//平面； (2)若平面平面，，求证：．为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．（1）求关于的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？18．(本题满分1分的三个顶点，，，其外接圆为．(1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．19．(本小题满分16分)已知函数（为常数），其图象是曲线．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（3）已知点为曲线上的动点在点处作曲线的切线与曲线交于另一点在点处作曲线的切线设切线的斜率分别为问：是否存在常数使得若存在求出的值；若不存在请说明理由已知数列满足，，是数列 的前项和．(1)若数列为等差数列．（?）求数列的通项；（?）若数列满足，数列满足，试比较数列 前项和与前项和的大小；若对任意，恒成立，求实数的取值范围．A．(选修4—1：几何证明选讲)如图，为锐角的内，过点作直线的垂线，垂足为，圆与边．若，求的度数．B．(选修4—2：矩阵与变换)（其中），若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求的值．C．(选修4—4：坐标系与参数方程)中，已知直线的参数方程是（为参数）；以 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．D．(选修4—：已知均为正数,证明：．．店经销三种排量的汽车，其中三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能． (1)求该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率； (2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）已知点，动点满足． 求动点的轨迹的方程； ：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为．问：是否存在点，使得直线//？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案数学Ⅰ部分一、填空题：1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 　 9． 10． 11． 12． 13． 14． 二、解答题：15．（1）由可知，，所以，……………………………2分所以． ……………………………………………………6分（2）可得，，， ① ……………………………………………………………10分又，且 ②，由①②可解得，，…………………12分所以．　 ……………………………14分16．（1）在中，、分别是、的中点，所以，又平面，平面，所以平面．（2）在平面内过点作，垂足为．平面，平面平面，平面，所以平面,………………8分又平面，所以，………………………………………………………10分又，，平面，平面，所以平面，…………………………………………………12分又平面，所以．，所以，………………………………………………………………………………4分 (2) 花坛的面积为．………………7分装饰总费用为， ………………………………………9分所以花坛的面积与装饰总费用的比， …………………11分令，则，当且仅当t=18时取等号，此时．答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．…………………………………………14分(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)18．(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，圆的方程为． …………………………………………………………4分设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以．当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；…………………………………6分当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或． ……………………………………………8分(2)直线的方程为，设，因为点是线段的中点，所以，又都在半径为的圆上，所以即…………………10分因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以,…………12分又，所以对]成立．而在[0，1]上的值域为[，10]，所以且．……15分又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故圆的半径的取值范围为． ……………………………………………16分19．(1)当时， . ………………………………………2分令f ((x)
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