西青区2015～2015学年度第一学期期末考试高三数学（文）试卷题 号一二三总 分1～89～14151617181920分 数本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟．参考公式：柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高.球的体积公式，其中表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的. 将正确答案填在下面的表格内.题 号12345678答 案1．已知集合 ，，全集，则图中阴影部分所表示的集合为A. B. C. D. 2．命题“ ”的否定是A． B．　　　 C．　　 D． 3．如右图，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域（图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点，则点落在区域内的概率为A. B. C. D. 4．已知 ，则=A. B. C. D. 5．执行右边的程序框图，若 ，则输出的A． B． C． D． 6．已知变量 满足约束条件，则的最大值为A． B． C． D． 7．已知是两个不同平面，是两条不同直线，下列命题中不正确的是　A．若∥，，则　　 B．若，∥，则　　　　　C．若，，则∥　 D．若∥，，则∥8. 若直线平分圆的周长，则的取值范围是A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）评卷人得分9．已知是虚数单位，则复数的虚部为 .10．某空间几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的体积是 .11．已知抛物线与双曲线的一条渐近线相交于一点，点到抛物线焦点的距离为，则双曲线的离心率等于 .12．如右图所示，已知是半圆周上的两个三等分点，直径，，垂足为，与相交于点，则的长为 ．的边长为，平面内一点满足，则_______ ．14．对实数定义运算“”：，设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是______ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得 分评卷人 有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:组别ABCDE人数5010015015050(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率. 得 分评卷人 在中，角所对的边分别为，且满足．的大小；（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．得 分评卷人 如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且 （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成角的正弦值的大小.得 分评卷人 设是公比大于的等比数列，是数列的前项和.已知，是和的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证： .得 分评卷人 设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设分别为椭圆的左右顶点， 过点且斜率为的直线与椭圆交于两点. 若, 求的值. 得 分评卷人 已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在区间内恰有两个零点，求的取值范围；（Ⅲ）当时，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记，求函数在区间上的最小值.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.将正确答案填在下面的表格内.1．（A2．C3．C4．A5．A6．C7．D8．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．　?2　．10．　2　．11．　3　．12．　　．13．　?2　．14．　（?2，1]∪（1，2]　．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．解：（Ⅰ）按相同的比例从不同的组中抽取人数．从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表如下：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993（Ⅱ）A组抽取的3人中有2人支持1好歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为．B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为．现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=．16．解：（1）由条件结合正弦定理得，==，∴sinC=cosC，即tanC=，∵0＜C＜π，∴C=；（2）由（1）知B=?A，∴sinA?cosB=sinA?cos（?A）=sinA?coscosA?sinsinA=sinA+cosA=sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，当A+=时，sinA?sin（B+）取得最大值1，此时A=，B=．17．解：（解法一）：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB=A，∴PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，∴AC⊥BC．∴BC⊥平面PAC．（4分）（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD=AB，∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=AB．∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是．（12分）（解法二）：如图，以A为原点建立空间直角坐标系A?xyz，设PA=a，由已知可得P（0，0，a），A（0，0，0），，．（1）∵，，∴，∴BC⊥AP．又∵∠BCA=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC．（4分）（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴E为PC的中点，∴，，∴又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵=（?），=（0，a，a），∴cos∠DAE=，sin∠DAE==．∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为．（12分）18．（1）解：由已知，得…（3分）解得a2=2．设数列{an}的公比为q，则a1q=2，∴．由S3=7，可知，∴2q2?5q+2=0，解得．由题意，得q＞1，∴q=2． …（5分）∴a1=1．故数列{an}的通项为． …（7分）（2）证明：∵==，∴Sn===．…（14分）19．解：（I）根据椭圆方程为．∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；（II）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2?6=0，∴x1+x2=?，x1x2=，又A（?，0），B（，0），∴=（x1+，y1）?（?x2．?y2）+（x2+，y2）?（?x1．?y1）=6?（2+2k2）x1x2?2k2（x1+x2）?2k2，=6+=8，解得k=．20解：（1）求导函数可得f′（x）=（x+1）（x?a），令f′（x）=0，可得x1=?1，x2=a＞0令f′（x）＞0，可得x＜?1或x＞a；令f′（x）＜0，可得?1＜x＜a故函数的递增区间为（?∞，?1），（a，+∞），单调递减区间为（?1，a，）（2）由（1）知函数在区间（?2，?1）内单调递增，在（?1，0）内单调递减，从而函数在（?2，0）内恰有两个零点，∴，，0＜a＜a的取值范围为；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（?3，?1）上单调递增，在（?1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增当t[?3，?2]时，t+3[0，1]，?1[t，t+3]，f（x）在[t，?1]上单调递增，在[?1，t+3]上单调递减因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（?1）=?，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者由f（t+3）?f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t[?3，?2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（?1）?f（t）而f（t）在[?3，?2]上单调递增，因此f（t）≤f（?2）=?，所以g（t）在[?3，?2]上的最小值为当t[?2，?1]时，t+3[1，2]，?1，1[t，t+3]，下面比较f（?1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．由f（x）在[?2，?1]，[1，2]上单调递增，有f（?2）≤f（t）≤f（?1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）∵f（1）=f（?2）=?，f（?1）=f（2）=?∴M（t）=f（?1）=?，m（t）=f（1）=?∴g（t）=M（t）?m（t）=综上，函数g（t）在区间[?3，?1]上的最小值为． 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 1 0 每天发布最有价值的高考资源开始M输入pn＜pn=n+1S=S+输出S结束n=0 S=0 SSS=0二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.FEDCBAo15．（本小题满分13分）16．（本小题满分13分）17．（本小题满分13分）18．（本小题满分13分）19．（本小题满分14分）20．（本小题满分14分）天津市西青区2015届高三上学期期末考试数学文试题（含答案）
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