专题六：概率与统计、推理与证明、算法初步、复数
第四讲 推理与证明
【最新考纲透析】
1．合情推理与演绎推理
（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；
（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；
（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
2．直接证明与间接证明
（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；
（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。
3．数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
【核心要点突破】
要点考向1：合情推理
考情聚焦：1．合情推理能够考查学生的观察、分析、比较、联想的能力，在高考中越来越受到重视；
2．呈现方式金榜经，属中档题。
考向链接：1．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；
2．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。
例1：（2010?福建高考文科?Ｔ１６）观察下列等式：
① cos2a=2 -1;
② cos4a=8 - 8 + 1;
③ cos6a=32 - 48 + 18 - 1;
④ cos8a=128 - 256 + 160 - 32 + 1;
⑤ cos10a= m - 1280 + 1120 + n + p - 1.
可以推测，m ? n + p = .
【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解．
【思路点拨】根据归纳推理可得．
【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1， ， ，又 ， ， ．
【答案】962．
要点考向2：演绎推理
考情聚焦：1．近几年高考，证明题逐渐升温，而其证明主要是通过演绎推理来进行的；
2．主要以解答题的形式呈现，属中、高档题。
考向链接：演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。
例2：（2010?浙江高考理科?Ｔ14）设 ，
将 的最小值记为 ，则
其中 =__________________ .
【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键．
【思路点拨】观察 的奇数项与偶数项的特点．
【规范解答】观察 表达式的特点可以看出 ，……， 当 为偶数时， ； ， ，……， 当 为奇数时， ．
【答案】 ．
要点考向3：直接证明与间接证明
考情聚焦：1．直接证明与间接证明是数学证明的两种思维方式，考查了学生的逻辑思维能力，近几年高考对此部分的考查有所加强。
2．以解答题的形式呈现，属中档题目。
例3：（2010?北京高考文科?Ｔ20）
已知集合 对于 ， ，定义A与B的差为
A与B之间的距离为
（Ⅰ）当n=5时，设 ，求 ， ；
（Ⅱ）证明： ，且 ;
(Ⅲ) 证明： 三个数中至少有一个是偶数
【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力。本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求。要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”、“创新能力”的培养．
【思路点拨】（I）（Ⅱ）直接按定义证明即可；(Ⅲ) “至少”问题可采用反证法证明．
【规范解答】（Ⅰ） ＝（1,0,1,0,1）
＝3
(Ⅱ)设
因为 ，所以
从而
由题意知
当 时，
当 时，
所以
(Ⅲ)证明：设
记 由（Ⅱ）可知
所以 中1的个数为k, 中1的个数为
设 是使 成立的 的个数。则
由此可知， 三个数不可能都是奇数，
即 三个数中至少有一个是偶数．
注：（1）有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可；
（2）综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用。
要点考向4：数学归纳法
考情聚焦：1．新课标区对数学归纳法的考查在去年有加强的趋势，望能引起足够的重视；
2．以解答题的形式呈现，属中档题。
例4：等比数列{ }的前n项和为 ， 已知对任意的 ，点 ，均在函数 且 均为常数)的图像上.
（1）求r的值;
（11）当b=2时，记
证明：对任意的 ，不等式 成立
【解析】因为对任意的 ,点 ，均在函数 且 均为常数的图像上.所以得 ,当 时, ,当 时, ,又因为{ }为等比数列,所以 ,公比为 ,
（2）当b=2时， ,
则 ,所以 .
下面用数学归纳法证明不等式 成立.
当 时,左边= ,右边= ,因为 ,所以不等式成立.
假设当 时不等式成立,即 成立.则当 时,左边=
所以当 时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.
注：（1）用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n=k到n=k+1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。
（2）在本例证明过程中，①考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值供稿通项，判断命题的真假，②在由n=k到n=k+1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。
（3）在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n=k+1时证明的目标，充分考虑由n=k到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系。
【高考真题探究】
1．（2010?山东高考文科?Ｔ１０）观察 ， ， ，由归纳推理可得：若定义在 上的函数 满足 ，记 为 的导函数，则 =（ ）
（A） (B) (C) (D)
【命题立意】本题考查归纳推理的有关知识，考查了考生的观察问题，分析问题解决问题的能力.
【思路点拨】观察所给的结论，通过归纳类比联想，得出结论.
【规范解答】选D．通过观察所给的结论可知，若 是偶函数，则导函数 是奇函数，故选D．
2．（2010?陕西高考理科?Ｔ１２）观察下列等式： ,……，根据上述规律，第五个等式为 ____________.
【命题立意】本题考查归纳推理，属送分题．
【思路点拨】找出等式两边底数的规律是解题的关键．
【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：
即左边底数的和等于右边的底数。故第五个等式为：
【答案】
3．（2010?北京高考理科?Ｔ20）已知集合
对于 ， ，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 ；
（Ⅰ）证明： ，且 ;
（Ⅱ）证明： 三个数中至少有一个是偶数
(Ⅲ) 设P ，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为 (P).
证明： （P）≤ .
【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力，考查了反证法、不等式证明等知识．本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求．要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”、“创新能力”的培养．
【思路点拨】（I）直接按定义证明即可；（Ⅱ）“至少”问题可采用反证法证明；(Ⅲ)把 表示出来，再利用均值不等式证明．
【规范解答】（I）设 ， ，
因为 ， ，所以 ,
从而
又
由题意知 ， ， .
当 时， ;
当 时，
所以
(II)设 ， ，
， ， .
记 ，由（I）可知
，
所以 中1的个数为 ， 中1的
个数为 ．
设 是使 成立的 的个数，则
由此可知， 三个数不可能都是奇数，
即 , , 三个数中至少有一个是偶数．
（III） ,其中 表示 中所有两个元素间距离的总和，
设 中所有元素的第 个位置的数字中共有 个1， 个0
则 ＝
由于
所以
从而
【方法技巧】（1）证明“至少有一个……”的时，一般采用反证法；
（2）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式．
4．（2010?江苏高考?Ｔ23）已知△ABC的三边长都是有理数。
求证：cosA是有理数；
（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。
【命题立意】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】（1）利用余弦定理表示cosA，由三边 是有理数，求得结论；（2）可利用数学归纳法证明.
【规范解答】方法一：（1）设三边长分别为 ， ，∵ 是有理数，
是有理数，分母 为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴ 必为有理数，∴cosA是有理数。
（2）①当 时，显然cosA是有理数；
当 时，∵ ，因为cosA是有理数， ∴ 也是有理数；
②假设当 时，结论成立，即coskA、 均是有理数。
当 时， ，
，
，
解得：
∵cosA， ， 均是有理数，∴ 是有理数，
∴ 是有理数。
即当 时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。
方法二：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
是有理数。
（2）用数学归纳法证明cosnA和 都是有理数。
①当 时，由（1）知 是有理数，从而有 也是有理数。
②假设当 时， 和 都是有理数。
当 时，由 ，
，
及①和归纳假设，知 和 都是有理数。
即当 时，结论成立。
综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。
5．（2009江苏高考）设 ≥ ＞0,求证： ≥ .
【解析】本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。
证明：
因为 ≥ ＞0,所以 ≥0， ＞0，
从而 ≥0，
即 ≥ .
6．（2008安徽高考）设数列 满足 为实数
（Ⅰ）证明： 对任意 成立的充分必要条件是 ；
（Ⅱ）设 ，证明： ;
（Ⅲ）设 ，证明：
【解析】（Ⅰ）必要性：∵ ，又∵ ，∴ ，即 .
充分性：设 ，对任意 用数学归纳法证明 .
当 时， .
假设当 时， ，则 ，且 ， .
由数学归纳法知， 对任意 成立.
(Ⅱ) 设 ，当 时， ，结论成立；
当 时，∵ ，∴ .
∵ ，由（Ⅰ）知 ，∴ 且 ，
∴ ，
∴ .
(Ⅲ)设 ,当 时， ，结论成立；
当 时，由(Ⅱ)知 ，
∴ .
∴
.
【跟踪模拟训练】
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．已知 是 的充分不必要条件，则 是 的（ ）
（Ａ） 充分不必要条件 （Ｂ） 必要不充分条件
（Ｃ） 充要条件 （Ｄ） 既不充分也不必要条件
2．设a、b、c都是正数，则 , , 三个数（ ）
A、都大于2 B、至少有一个大于2
C、至少有一个不大于2 D、至少有一个不小于2
3．在△ 中， 所对的边分别为 ，且 ，则△ 一定是（ ）
（Ａ） 等腰三角形 （Ｂ） 直角三角形 （Ｃ）等边三角形 （Ｄ） 等腰直角三角形
4． 5.已知函数 的定义域为 ，若对于任意的 ，都有 ，则称 为 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为 （ ）
（Ａ） （B） （C） （D）
5.给定正整数n(n≥2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，…，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n行）只有一个数.例如n=6时数表如图所示，则当n=2 007时最后一行的数是（ ）
(A)251×22 007
(B)2 007×22 006
(C)251×22 008
(D)2 007×22 005
6.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去,则a2 009+a2 010+a2 011等于( )
(A)1 003(B)1 005
(C)1 006(D)2 011
二、填空题（每小题6分，共18分）
7．对于等差数列 有如下命题：“若 是等差数列， ， 是互不相等的正整数，则有 ”。类比此命题，给出等比数列 相应的一个正确命题是：“___________________________________________________”。
8．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1是 三角形，△A2B2C2是 三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空）
9．(2010汉沽模拟)在直角三角形 中，两直角边分别为 ，设 为斜边上的高，则 ，由此类比：三棱锥 的三个侧棱 两两垂直，且长分别为 ，设棱锥底面 上的高为 ，则 .
三、解答题（10、11题每题15分，12题16分，共46分）
10.观察下表：
1，
2，3
4，5，6，7
8，9，10，11，12，13，14，15，
……
问：（1）此表第n行的最后一个数是多少？
（2）此表第n行的各个数之和是多少？
（3）2010是第几行的第几个数?
（4）是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227-213-120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由.
11．已知数列 ： ， ， ， （ 是正整数），与数列 ： ， ， ， ， （ 是正整数）．
记 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）求证：当 是正整数时， ；
（3）已知 ，且存在正整数 ，使得在 ， ， ， 中有4项为100．求 的值，并指出哪4项为100．
12．已知数列 ， ， ， ．记 ． ．
求证：当 时，
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） 。
参考答案
一、选择题
1．【解析】选Ａ.反证法的原理：“原命题”与“逆否命题”同真假，即：若 则 .
2．【解析】选D.
3．【解析】选A. ， ， ，又因为 ， ；
4．【解析】选C.可以根据图像直观观察；对于（C）证明如下：欲证 ，即证 ，即证 ，即证 ，显然，这个不等式是成立的，且每一步可逆，故原不等式得证；
5．【解析】选C.由题意知，112=7×24,48=6×23，20=5×22，故n行时，最后一行数为(n+1)?2n-2，
所以当n=2 007时，最后一行数为2 008×22 005=251×22 008.
二、填空题
6．【解析】选B.观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半.a4n-3=n,a4n-1=-n,
又2 009=4×503-3,2 011=4×503-1,
∴a2 009=503,a2 011=-503,a2 010=1 005,
∴a2 009+a2 010+a2 011=1 005.
7．【解析】这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中 类比到等比数列经常
是 ，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础。 .
答案：若 是等比数列， ， 是互不相等的正整数，则有 。
8．答案：锐角 钝角
9．答案：
三、解答题
10．【解析】（1）∵第n+1行的第1个数是2n，
∴第n行的最后一个数是2n-1.
（2）2n-1+（2n-1+1）+(2n-1+2)+…+（2n-1）
=3?22n-3-2n-2.
（3）∵210=1 024,211=2 048,1 024＜2 010＜2 048，
∴2 010在第11行，该行第1个数是210=1 024，由2 010-1024+1=987，知2 010是第11行的第987个数.
（4）设第n行的所有数之和为an，第n行起连续10行的所有数之和为Sn.
则an=3?22n-3-2n-2,an+1=3?22n-1-2n-1，
an+2=3?22n+1-2n，…，an+9=3?22n+15-2n+7,
∴Sn=3(22n-3+22n-1+…+22n+15)-(2n-2+2n-1+…+2n+7)
=22n+17-22n-3-2n+8+2n-2，
n=5时，S5=227-128-213+8=227-213-120.
∴存在n=5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227-213-120.
11．【解析】（1）
∵
（2）用数学归纳法证明：当
当n=1时， 等式成立
假设n=k时等式成立，即
那么当 时，
等式也成立.
根据①和②可以断定：当
（3）
…
∵ 4m+1是奇数， 均为负数，
∴ 这些项均不可能取到100.
此时， 为100.
12．【解析】（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当 时，因为 是方程 的正根，所以 ．
②假设当 时， ，
因为 ，
所以 ．即当 时， 也成立．
根据①和②，可知 对任何 都成立．
（Ⅱ）证明：由 ， （ ），得 ．
因为 ，所以 ．由 及 得 ， 所以 ．
（Ⅲ）证明：由 ，得
所以 ，
于是 ，
故当 时， ，又因为 ， 所以 ．
【备课资源】
1.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:
则第n个图案中有白色地面砖的块数是________.
【解析】观察三个图形知：白色地面砖有4n+2块.
答案：4n+2
2.如图甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2=BD?BC，该结论称为射影定理.如图乙，在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，类比射影定理，探究S△ABC、S△BCO、S△BCD这三者之间满足的关系式是__________.
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