柱体、锥体、台体的体积
练习一
一、
1、将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（ ）
A、 6 a B、 12 a
C、 18 a D、 24 a
2、侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则该三棱锥的全面积是（ ）
A、 a B、 a
C、 a D、 a
3、棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面积为50，则截面与底面之间的距离为( )
A、 25 B、 11
C、 10 D、 5
4、已知一个直平行六面体的底面是面积等于Q的菱形，两个对角面面积分别是和N，则这个平行六面体的体积是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、正四棱锥的底面面积为Q，侧面积为S，则它的体积为（ ）
A、 Q B、
C、 D、
6、正棱锥的高和底面边长都缩小原的 ，则它的体积是原的（ ）
A、 B、
C、 D、
7、直三棱柱ABC——A1B1C1的体积为V，已知点P、Q分别为AA1、CC1上的点，而且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是（ ）
A、 V B、 V
C、 V D、 V
二、题
8、已知正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是2，则这个棱台的侧面积是_____ 。
9、底面边长分别为a,b的一个直平行六面体的侧面积是(a+b)c，则它的高为---------------------。
10、正六棱柱的高为5c，最长的对角线为13c，它的全面积为-----------------。
11、三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，则它的体积是-------------。
三、解答题
12、右图中的图形是一个正方体，H、F、G分别是棱AB、AD、AA1
的中点。现在沿三角形GFH所在平面锯掉一个角，问锯掉的
这块的体积是原正方体体积的几分之几？

13、直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为 ,求直平行六面体的侧面积

14、如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内
放一个半径为r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰在此时好
与铁球相切，将球取出后，容器内的水深是多少？

15、如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC= a，且PD是四棱锥的高。
（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径。
（2）求四棱锥外接球的半径。

答案：
一、
1、B；2、A；3、B；4、D；5、D；6、B；7、B
二、题
8、18
9、
10、
11、
三、解答题
12、解：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3，锯掉的这个角是以三角形AGF为底面、H为顶点的一个三棱锥。其体积为V= S AFG•AH= • • a• a• a = a3，
∴所锯掉的这个角的体积是原正方体体积的 。
13、解：设底面边长为a,侧棱长为l,两条面对角线的长分别为c,d,则

由(1)得 ,由(2)得 代入(3)得

∴

思维启示：(1)此题需要大胆假设,为列方程方便,可以将对角线设出,但设而不解。(2)需大胆消元,整体代入,三个方程四个未知数,不能将其一一解出,这里需要将a与l的乘积看做一个整体进行计算。
14、解：如图，由题意，轴截面PAB为正三角形，故当球在容器内时，水深为3r，水面半径为 r，容器内水的体积就是V=V棱锥
-V球= （ r）2•3r- r3= r3
将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面半径为 h，此时容器内水的体积为V/= （ h）2•h= h3
由V=V/，得h= 。即铁球取出后水深为 。
15、证明：（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R。
VP——ABCD= •S ABCD•PD= •a•a•a
= a3，S PAD= S PDC= •a•a= a2，
S PAB= S PBC= •a• a= a2
S ABCD=a2。
VP—ABCD= VS—PDA+ VS——PDC+ VS-ABCD+ VS—PAB+ VS—PBC，
a3= R（S PAD+ S PDC+ S PAB+ S PBC+ S ABCD），
a3= R（ a2+ a2+ a2+
a2+a2），
R（2+ ）a2= a3，
∴R= = a=（1- ）a
∴球的最大半径为（1- ）a
（2）设PB的中点为F，
∵ 在Rt PDB中，FP=FB=FD，
在Rt PAB中，FA=FP=FB，
在Rt PBC中，FP=FB=FC，
∴FP=FB=FA=FC=FD。
∴F为四棱锥外接球的球心。
则FP为外接球的半径
∵FB= PB，∴FB= a。
∴四棱锥的外接球的半径为 a。

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