广西钦州市第二中学2018年春季学期八年级数学17.2勾股定理的逆定理同步测试卷解析版
一、 选择题
1. △ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B-∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③a =（b+c）（b-c）；④a：b：c=5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（　　）
A．1个   B．2个    C．3个   D．4个
答案： C．
解析： ①∠A=∠B-∠C，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠B=90°，故①是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故②不是直角三角形；
③∵a =（b+c）（b-c），∴a +c =b ，符合勾股定理的逆定理，故③是直角三角形；
④∵a：b：c=5：12：13，∴a +c =b ，符合勾股定理的逆定理，故④是直角三角形． 能判断△ABC是直角三角形的个数有3个；
故选 C．
考点：1.勾股定理的逆定理；2.三角形内角和定理．
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=  ，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（　　）
 
A．    B．  +1   C．  +2    D．  +3
答案： D．
解析： ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=  ，
∴AB=2CD=  ．
∴AC 2 +BC 2 =5
又Rt△ABC的面积为1，
∴  ACBC=1，则ACBC=2．
∴（AC+BC） 2 =AC 2 +BC 2 +2ACBC=9，
∴AC+BC=3（舍去负值），
∴AC+BC+AB=3+  ，即△ABC的周长是  +3．
故选 D．
考点：1.勾股定理2.直角三角形斜边上的中线．
3. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（　　）
 
A．  B．  C．2    D． 
答案： A．
解析： 如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于
F．
 
设AB=AD=x．
又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形形，
∴AD=EF=x．
在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，
∴BE=  AB=  x，
∴DF=AE=  =  x，
在Rt△CDF中，∠FCD=30°，则CF=DFcot30°=  x．
又BC=6，
∴BE+EF+CF=6，即  x+x+  x=6，
解得 x=2
∴△ACD的面积是：  ADDF=  x×  x=  ×2 2 =  ．
故选 A．
考点：1.勾股定理2.含30度角的直角三角形．
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（   ）
A．  B．  C．  D． 
 
答案： A
解析： 根据题意画出相应的图形，如图所示：
 
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：AB=  ，
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
又S △ABC =  ACBC=  ABCD，
∴CD=  ，
则点C到AB的距离是  ．
故选A
考点：1.定理；2.直线的距离；3.形的面积．
5. 如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为  、  、  ，则  、  、  的关系是（　　）
A．  +  =  　 B．  C．  　 D． 
 
答案： A．
解析： 设直角三角形各边长为2a、2b、2c，如图所示：
 
∵三角形是直角三角形，
∴（2a） 2 +（2b） 2 =（2c） 2 ，
化简得：a 2 +b 2 =c 2 ，
S 1 =  πa 2 ，S 2 =  πb 2 ，S 3 =  πc 2 ；
S 1 +S 2 =  π（a 2 +b 2 ）=  πc 2 =S 3 ．
故选 A．
考点：勾股定理．
6. 如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（  ）
 
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
答案： C.
解析： 如答图所示，从A点到B点的走法有若干种，其中，
走法1，2，3的距离是  ；
走法4，5，6的距离是5；
走法7，8，9，10的距离是  .
∵  ，∴走法1，2，3的距离最短.
∴从A点到B点的最短距离的走法共有3种.
故选C.
 
考点：1.网格问题；2.勾股定理的应用；3.实数的大小比较；4.分类思想的应用．
7. 如图，△ABC中，AB=AC=5,BC=6，M为BC的中点，MN⊥AC于N点，则MN=（ ）
 
A．     B．     C．    D． 
答案： C．
解析： 连接AM，
 
∵AB=AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM，BM=CM，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=CM=3，
在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，
∴根据勾股定理得：AM=  ，
又S △AMC =  MNAC=  AMMC，
∴MN=  ．
故选 C．
考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质．
8. 如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的D点沿正方体的盒壁爬到盒内的M点（盒壁的厚度不计），蚂蚁爬行的最短距离是（  ）
 
A．  B．  C．  D． 
答案： D
解析： 利用侧面展开图形成平面图,
 
由题意得到直角三角形NDM,DN=3,NM=4,因而可求最短路线为MD=  =5.
考点：勾股定理
9. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 （  ）
 
A．115cm B．125 cm C．135cm D．145cm
答案：B
解析： 三级台阶平面展开图为长方形,长为100cm,宽为  ,
则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长.
可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为  ,
由勾股定理得  :,
解得：  .故选：B
考点：1.平面展开-最短路径问题；2.勾股定理.
10. 如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是 ( )
 
A．  B．  C．1 D． 
答案：B
解析： 根据已知得出蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度，进而得到A 1 B=2+2=4，A 1 M=1，利用勾股定理求出BM=  ．
故选：B
 
考点：勾股定理
11. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为10 cm，正方形A的边长为6 cm、B的边长为5 cm、C的边长为5 cm，则正方形D的边长为（　　）
 
A．    B．4 cm    C．  　D．3 cm
 解析： 根据勾股定理，正方形E的边长为  ，正方形F的边长为  ，正方形D的边长为  ．
答案： A
12. 下列三角形中,是直角三角形的是( )
A.三角形的三边满足关系a+b=c   B.三角形的三边长分别为3 2 ,4 2 ,5 2
C.三角形的一边等于另一边的一半    D.三角形的三边长为7,24,25
解析： 要满足勾股定理逆定理,D中7 2 +24 2 =25 2 .所以选D.
答案： D
二、 填空题
13. 已知一个直角三角形的两边长分别为4和3，则它的面积为　_________　．
答案： 6或  ．
解析： 设另一边长为x，分4为直角三角形的斜边与直角边两种情况进行解答．
解：设另一边长为x，
当4为直角三角形的斜边时，x=  ，故S=  ×3×  =  ；
当4为直角三角形的直角边时，S=  ×4×3=6．
故答案为：6或  ．
考点：勾股定理．
14. 如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为________________。
 
答案： 45°
解析： 连接AC． 根据勾股定理可以得到：AC=BC=  ，AB=  ，
∵  +  =  ，即AC 2 +BC 2 =AB 2 ，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°
 
考点：1.勾股定理；2.勾股定理的逆定理；3.等腰直角三角形
15. 在△ABC，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是_______.
答案： 
解析： 根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，
 
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC=6，
∴BD=CD=3，
在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD=  ，
又∵S △ ABC =  BCAD=  BPAC，
∴BP=  =  =4.8．
故答案为：4.8．
考点：1.勾股定理；2.垂线段最短.
16. 在△ABC中，∠C=900,，BC=60cm，CA=80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要 分的时间.
答案：12 本题考查的是勾股定理的应用
运用勾股定理可求出斜边AB的长，然后可求出直角三角形的周长即蜗牛所走的总路程，再除以蜗牛的行走速度即可求出所需的时间．
 ，  ，  ，
蜗牛行走的总路程  ，
故所需时间为  分。
三、 解答题
17. A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．

（1）自己画出图形并解答：A城是否受到这次台风的影响？为什么？

（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？

答案：（1）作图见解析，A城要受台风影响，理由见解析；（2）6小时.
解析： （1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
试题解析：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，
 
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，
因为160＜200，所以A城要受台风影响；
（2）设BF上点D，DA=200千米，另一点G，有AG=200千米．
∵DA=AG，
∴△ADG是等腰三角形，
∵AC⊥BF，
∴AC是DG的垂直平分线，CD=GC，
在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，
由勾股定理得，
CD=  =120千米，
则DG=2DC=240千米，
遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时）．
考点：勾股定理的应用．
18. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）若AC=2，求AD的长．
 
答案： （1）75°；（2）  .
解析： （1）根据三角形内角和定理，即可推出∠BAC的度数；
（2）由题意可知AD=DC，根据勾股定理，即可推出AD的长度．
（1）∠BAC=180°-60°-45°=75°；
（2）∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC，
∵AC=2，
∴AD=  .
考点：勾股定理．
19. 求如图所示的RtΔABC的面积。
 
答案：7.5．
解析： 首先利用勾股定理得到三边关系，进而建立关于x的方程，解方程求出x的值，再利用三角形的面积公式计算即可．
试题解析：由勾股定理得：（x+4） 2 =36+x 2 ，
解得：x=  ，
所以△ABC的面积=  ×6×  =7.5．
考点：勾股定理．
20. 如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点，当它靠在另一侧墙时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°．点D到地面的垂直距离DE=  m，求点B到地面的垂直距离BC．
  
答案：点B到地面的垂直距离BC=  m
解析： 在Rt△DAE中，
∵∠DAE=45°，
∴∠ADE=∠DAE=45°，AE=DE=  ．
∴AD 2 =AE 2 +DE 2 =（  ） 2 +（  ） 2 =36，
∴AD=6，即梯子的总长为6米．
∴AB=AD=6．
在Rt△ABC中，∵∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=  AB=3，
∴BC 2 =AB 2 AC 2 =6 2 3 2 =27，
∴BC=  =  m，
∴点B到地面的垂直距离BC=  m．
考点：勾股定理的应用
21. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
答案： 12米．
解析：  因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
试题解析：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，
根据勾股定理可得：x 2 +5 2 =（x+1） 2 ，
解得，x=12．
答：旗杆的高度为12米．
考点：勾股定理的应用．

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