第1章 分式检测题
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
一、（每小题3分，共24分）
1.下列各式中，分式的个数为（ ）
， ， ， ， ， ， .
A. B. C. D.
2.下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
4.将分式 中的 、 的值同时扩大 倍，则分式的值（ ）
A.扩大为原来的 倍 B.缩小到原来的 C.保持不变 D.无法确定
5．若分式 的值为零，那么 的值为( )
A. 或 B.
C. D.
6. 下列计算，正确的是（ ）
A． B．
C. D.
7.为了实现街巷硬化工程高质量“全覆盖”，我省今年1~4月公路建设累计投资92.7亿元，
该数据用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
8.运动会上，初二（3）班啦啦队买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根.乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为 元，根据题意可列方程为（）
A. B.
C. D.
二、题（每小题3分，共24分）
9.若分式 的值为零 ，则 .
10. 某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94 ，用科学记数法表示这个数
是 .
11.计算： = .
12.分式 ， ， 的最简公分母为 .
13.已知 ，则 ________.
14. 若解分式方程 产生增根，则 _______．
15.当 ________时，分式 无意义；当 ______时，分式 的值为 ．
16.某人上山的速度为 ，按原路下山的速度为 ，则此人上、下山的平均速度为_________ .
三、解答题（共52分）
17.（12分）计算与化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
18.（4分）先化简，再求值： ,其中 ， .
19.（6分）解下列分式方程：
（1） ；（2） .
20.（4分）当 时，求 的值．
21.（5分）已知 ，求代数式
的值．
22.（6分）甲、乙两地相距 ， 骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后， 骑摩托车也从甲地去乙地．已知 的速度是 的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求 两人的速度．
23.（7分）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.
24.（8分）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即骑自行车（匀速）返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．?
(1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？?
(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？

第2章 三角形检测题参考答案
1.B 解析:本题考查了三角形的三边关系，设第三边长为 ，∵ ,
∴ ，只有选项B正确.
2.C 解析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知 ，从而求出 的度数，即∵ ，
∴ 120° 40°=80°.故选C.
3.D 解析：添加A选项中条件可用 判定两个三角形全等；添加B选项中条件可用 判定两个三角形全等；添加C选项中条件可用 判定两个三角形全等，故选D．
4.A 解析:在△ 中，因为 ，所以 .因为 ，所以 .又因为 ，所以 ，所以 .
5.B 解析:当等腰三角形的腰长为3时，它的三边长为3，3，6，由于3+3=6，所以这个三角形不存在.当等腰三角形的腰长为6时，它的三边长为6，6，3，满足任意两边之和大于第三边，所以这个三角形存在,它的周长为15.
6.C 解析：当 时，都可以分别利用SAS,AAS,SAS来证明△ ≌△ ，从而得到 ，只有选项C不能.
7.D 解析：①根据作图的过程可知， 是 的平分线．故①正确.
②如图，∵ 在△ 中， =90°， =30°，∴ =60°．
又∵ 是 的平分线，∴ ∠1=∠2= =30°，
∴ .故②正确.
③∵ ，∴ ，∴ 点 在 的中垂线上．故③
正确.
④如图，在Rt△ 中，∵ ∠2=30°，∴ ∴
∴ , ．
∴ ，
∴ =1∶3．故④正确．
综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个．故选D．
8.C 解析:本题综合考查了等腰三角形的性质、线段的垂直平分线与角的平分线的性质、相似三角形与黄金分割等知识.∵ =36°， ,∴ .∵ 是 的垂直平分线，∴ ,∴ ，∴ ，
∴ 平分 ,∴ 选项A与B都正确.
由 平分 ，∴ .在△ 中， 180° 36° 72° 72°，∴ ，即 .在Rt△ 中， ,则 .
如图，作 ,则 .又 故 ，∴ 选项C错误.由已知可证明△ ∽△ ,∴ ，
∴ .∵ ,∴ ,∴ 点 为线段 的黄金分割点.∴ 选项D正确.
9. 或 或 或 等（答案不唯一）
解析：此题答案不唯一. ∵ △ 的高 相交于点 ，
∴ 90°.
∵ ，要使 ，只需△ ≌△ ，
当 时，利用HL即可证得△ ≌△ ；
当 时，利用AAS即可证得△ ≌△ ；
同理：当 也可证得△ ≌△ ；
当 时， ，∴ 当 时，也可证得△ ≌△ ．
故答案为： 或 或 或 等．
10.25° 解析:∵ =90°， ,∴ 45°，
∴ 45°+40° 85°.
在△ 中， 180° 85° 30° 65°,
∴ 90° 65° 25°.
11.30° 解析:本题考查了三角形的内角和.设三角形的三个内角分别是 ,由题意知 100°,则 50°,由三角形的内角和定理知 180°,∴ 30°,∴ 这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.
12.5 解析：根据题意，得 ，解得
①若 是腰长，则底边长为2，三角形的三边长分别为1，1，2，
∵ 1+1=2，∴ 不能组成三角形;
②若 是腰长，则底边长为1，三角形的三边长分别为2，2，1，
能组成三角形，周长=2+2+1=5．故填5．
13.1.5 解析:如图，延长 交 于点 ,
由 是角平分线， 于点 ，可以得出△ ≌
△ ，∴ 2， .
在△ 中，∵ ∴ 是△ 的中位线,
∴ ( )= ＝ ×3
1.5.
14. 垂直平分 解析：∵ 是△ 的角平分线， 于点 于点 ，
∴ .
在Rt△ 和Rt△ 中， ∴ △ ≌△ （HL），∴ .
又 是△ 的角平分线，∴ 垂直平分 .
15.①②③ 解析：∵ 90°， ，∴ △ ≌△ .
∴ ∴ ②正确.
又∵ ∴ △ ≌△ ，∴ ③正确.
又∵∠1 ，∠2 ，∴ ∠1=∠2，∴ ①正确，
∴ 题中正确的结论应该是①②③.
16.39 解析：∵ △ 和△ 均为等边三角形，
∴
∵
∴ ∴ △ ≌△ ，∴
17.分析：本题考查了等腰三角形、三角形外角的性质.利用等腰三角形的两底角相等和三角形外角的性质设未知数列方程求解.
解：∵ ∴
而
设 则可得 84°,则 21°,即 21°.
18.分析：（1）根据线段垂直平分线的性质作图.
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，可得 又 是公共边，从而利用SSS可证得△ ≌△ ,进而得到 .
（1）解：作图如图所示：

（2）证明：根据题意作出图形（如图）.

∵ 点，N在线段AB的垂直平分线 上，∴ A＝B，AN＝BN.
又∵ N=N,∴ △AN≌△BN（SSS）.∴ ∠AN=∠BN.
19.分析：本题考查了三角形的中位线、全等三角形、直角三角形的性质以及三角形的外角和定理.(1)要证明DE=EF,先证△ADE≌△CFE.(2)CD是Rt△ABC斜边上的中线,
∴ CD AD,∴ ∠1=∠A.而∠1+∠3=90°,∠A+∠B=90°,可得∠B=∠3.由CF∥AB可得∠2=∠A,要证∠B=∠A+∠DGC,只需证明∠3=∠2+∠DGC.
证明：(1)∵ 点D为边AB的中点（如图）,DE∥BC,∴ AE=EC.

∵ CF∥AB,∴ ∠A=∠2.
在△ADE和△CFE中, ∴ △ADE≌△CFE(ASA),∴ DE=EF.
(2)在Rt△ACB中,∵ ∠ACB=90°,点D为边AB的中点,∴ CD=AD,∴ ∠1=∠A.
∵ DG⊥DC,∴ ∠1+∠3=90°.又∵ ∠A+∠B=90°,∴ ∠B=∠3.
∵ CF∥AB,∴ ∠2=∠A.∵ ∠3=∠2+∠DGC,∴ ∠B=∠A+∠DGC.
点拨：证明两个角相等的常用方法：①等腰三角形的底角相等；②全等(相似)三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角（内错角）相等；④角的平分线的性质；⑤同角（或等角）的余角（或补角）相等；⑥对顶角相等；⑦借助第三个角进行等量代换．
20.分析：(1)只要通过证明∠CDO=∠COD就可得到△CDO是等腰三角形.利用BC=BD，
∠DBC=30°,求出∠BDC=∠BCD=75°,而∠COD=45°+30°=75°，从而得出∠CDO
∠COD.
(2)过点D，A分别作出△BDF与△ABC的高，将梯形分成两个直角三角形和一个矩形后，利用解直角三角形和矩形的性质等知识求解.
(1)证明：由题图（1）知BC=DE,∴ ∠BDC=∠BCD.
∵ ∠DEF=30°,∴ ∠BDC=∠BCD=75°.
∵ ∠ACB=45°,∴ ∠DOC=30°+45°=75°.∴ ∠DOC=∠BDC.
∴ △CDO是等腰三角形.

(2)解：如图，过点A作AG⊥BC,垂足为点G,过点D作DH⊥BF,垂足为点H.
在Rt△DHF中,∠F=60°,DF=8,∴ DH=4 ,HF=4.
在Rt△BDF中,∠F=60°,DF=8,∴ BD=8 ,BF=16.
∴ BC=BD=8 .
∵ AG⊥BC,∠ABC=45°,∴ BG=AG=4 ,∴ AG=DH.
∵ AG∥DH,∴ 四边形AGHD为矩形.∴ AD=GH=BF-BG-HF=16-4 -4=12-4 .
21.解：相等.理由：连接 .
因为 所以△ ≌△ ，所以 .
22.证明：在△ 中，因为 ，所以 .
又因为 ，所以
所以 .
所以 .
所以 ．
23.证明：（1）连接 .因为 ，
所以Rt△ ≌Rt△ ，所以
（2）因为Rt△ ≌Rt△ ，所以 ，
所以点 在 的平分线上.
24.（1）证明：因为 垂直 于点 ,所以 ，所以 .
又因为 ，所以 .
因为 , ，所以 .
又因为点 是 的中点，所以 .
因为 ，所以△ ≌△ ，所以 .
(2)解： .证明如下：
在△ 中，因为 , ，
所以 .
因为 ，即 ,所以 ,所以 .
因为 为等腰直角三角形斜边上的中线,所以 .
在△ 和△ 中, , ,
所以△ ≌△ ,所以 .

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