数学理科试题
时间：120分钟 主命题教师：宜城一中
分值：150分 副命题教师：襄州一中
★祝考试顺利★
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、命题“ ”的否定是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、若两个不同平面 、 的法向量分别为 ，则（ ）
A、 、 相交但不垂直 B、 ⊥
C、 ∥ D、以上均不正确
3、双曲线 的右焦点坐标为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、已知向量 分别是直线 和平面 的方向向量和法向量，若 与 夹角的余弦等于 ，则 与 所成的角为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、下列命题中正确的是（ ）
A、“ ”是“ ”的必要不充分条件
B、“P且Q”为假，则P假且 Q假
C、命题“ 恒成立”是真命题，则实数 的取值范围是
D、命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
6、已知椭圆 以及椭圆内一点 ，则以P为中点的弦所在直线斜率为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG=3GN，用向量 表示向量 ，则（ ）
A、 B、
C、 D、
8、过椭圆的右焦点 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 两点， 为椭圆的左焦点，
若 为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、
9、 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线的左右
两支分别交于A,B两点，若 是等边三角形， 则该双曲线的虚轴长为（ ）
A、 B、 C、 D、
10、在三棱柱 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， 。若 分别是棱 上的点，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A、 B、
C、 D、
11、已知抛物线 的焦点是F，过点F的直线与抛物线C相交于P、Q两点，且点Q在第一象限，若 ，则直线PQ的斜率是（ ）
A、 B、1 C、 D、
12、已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直于直线 于点 ，线段 的垂直平分线与 的交点的轨迹为曲线 ，若点 是 上任意的一点，定点 ， ，则 的最小值为（ ）
A、 6 B、 C、 4 D、 5

第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上）
13、抛物线 的焦点坐标为 。
14、已知集合 ， ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是 。
15、在平行六面体 中， ， ， ，
60°，则 的长为 。
16、已知直线 与抛物线 交于 两点， 为坐标原点，且 , 于点 ，点 的坐标为 ，则 。
三、解答题（本大 题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
17、（本小题满分10分）
命题 ：方程 表示焦点在 轴上的双曲线。
命题 ：直线 与抛物线 有公共点。
若“ ”为真，求实数 的取值范围。

18、（本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆的一个顶点坐标为 ，其离心率为
求椭圆的标准方程；
椭圆上一点P满足 ,其中 为椭圆的左右焦点，
求 的面积。

19、（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体 中 ， 分别是棱 上的动点。
（1）当 时，求证 ⊥ ；
（2）若 分别为 的中点，求直线 与
平面 所成角的正弦值。

20、（本小题满分12分）在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，当 为圆与 轴交点时， 与 重合，动点 满足 ；
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）抛物线 的顶点在坐标

标原点，并以曲线 在 轴正半轴上的顶点为焦点，直线 与抛物线 交于 、 两点，求线段 的长。

21、（本小题满分12分）在四棱锥 中， 底面 ，底面 是直角梯形， ， ∥ ， ， 是 的中点。
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值。

22、（本小题满分12分）动点P 满足
（1）求动点P的轨迹 的方程；
（2）设直线 与曲线 交于 两点，坐标原点 到直线 的距离为 ，求 面 积的最大值。


2019—2019学年下学期高二期中考试
数学参考答案
一、选择题 1-6 CBABCB 7-12 DBABDD
二、填.1空题 13、 14、 15、 16、
三、解答题
17、解： 真，则， ，得 ………………………2分
真，则方程组 有解，消去 得 ，即
得 ………………………………4分
“ ”为真，则 真或 真，所以 ………………………………6分
或 ………………………………8分
即 ………………………………10分
18、（1）设椭圆的标准方程为 ，
椭圆的一个顶点为（0,1）则 =1， ……………2分
解得 ……………4分
椭圆的标准方程为 …………………6分
（2）设
= ……………8分
得 ， ………………10分
………………12分
19、（1）证明：以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，如图所示 设 ∵ ∴ …………2分
又
∴ …………………………3分
∵ …………………………4分
∴ ∴ …………………………5分
（2） ，
…………………………6分
设平面 的法向量为 ，则

取 ，则 ， ， …………………………8分
又 …………………………9分
设 与平面 所成的角为 ，则
………………………11分
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ………………………12分
20、解（1）设 ，由 轴于点 ，可设 …………1分
由 得
即 ……………………………………3分
动点 在圆 上
……………………………………4分
，即 ……………………………………5分
动点 的轨迹 的方程为 ………………………………6分
（2）曲线 在 轴正半轴上的 顶点 为 ，由已 知可设抛物线方程为
焦点坐标为 ， 即
抛物线 的方程为 ………………………………………8分
直线 与抛物线 交于 两点，
方程联立： …………9分
直线 经过抛物线焦点
……………………12分
21、解：（1） …………1分
作 与点 ，则

………………2分

…………………3分
平面 …………4分
且 平面 ， 平面
平面 …………………………5分
平面 平面 平面 ………………6分
（2）由（1）可以 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图

是 中点
设平面 的法向量为 则
取 ，则 …………8分
由（1）知平面 的法向量为 …………………………9分
………………………………11分
二面角 的余弦值为

………………………………12分
另 解：可证 为二面角 的平面角，求出 便可
22、解：（1）由已知得，点P到点 与 的距离之和等于
且 ，所以动点P的轨迹是以 为焦点的椭圆 ……………2分
设椭圆的标准方程为
则
即
动点P的轨迹C的方程为 …………………4分
（2）设直线 的方程为 ，原点 到直线 的距离为 ，即
化简得 ，即 …………………………5分
将直线 与椭圆C方程联立得
化简得

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