太和二中赵玉苗整理发布
一.选择题
1. 函数y=xcosx + sinx 的图象大致为
（A） （B） (C) (D)
2. 抛物线C1：y= x2(p＞0)的焦点与双曲线C2： 的右焦点的连线交C1于第一象限的点.若C1在点处的切线平行于C2的一条渐近线，则p= ( D )
A. B. C. D.
3. 下面是关于公差 的等差数列 的四个命题，其中正确为（ D ）
数列 的递增数列； 数列 的递增数列；
数列 的递增数列； 数列 的递增数列；
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
4. 在 中，内角 ， ， 所对边的长分别为 ， ， ，若 ，且 ，则角 的大小为（ A ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
5. 使 得展开式中含有常数项的最小的 为（ B ）
Ａ.4 Ｂ.5 Ｃ.6 Ｄ.7
6. 已知点 ， ， 。若△ 为直角三角形，则必有（ C ）
Ａ. Ｂ.
Ｃ. Ｄ.
7. 将函数y=sin（2x + ）的图像沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则 的一个可能取值为 （ B ）
（A） （B） （C）0 （D）
8. 给定两个命题p、q，若?p是q的必要而不充分条件，则p是?q的 （ B ）
（A）充分而不必条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
9. 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 （ B ）
（A）243 （B）252 （C）261 （D）279
10. 设O为坐标原点，F1，F2是双曲线 － ＝１（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1P F2=60°， = a，则该双曲线的渐近线方程为（ D ）
（A）x± y=0（B） x±y=0
（C） x± y=0（D） x±y=0
二.填空题
11. 已知向量 与 的夹角为 ，且 若 且 ,则实数 的值为 【答案】
12. 定义“正对数”： ，现有四个命题：
①若 ，则 ; ②若 ，则
③若 ，则 ; ④若 ，则
其中的真命题有： （写出所有真命题的编号） 【答案】①③④
13. 抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 (包含三角形内部和边界) ．若点 是区域 内的任意一点，则 的取值范围是 ．【答案】[?2，12 ]
14. 在平面直角坐标系 中，设定点 ， 是函数 （ ）图象上一动点，
若点 之间的最短距离为 ，则满足条件的实数 的所有值为 ．【答案】1或
15. 已知 的定义域为R的偶函数，当 时， ，那么，不等式 的解集是_________________
三.解答题
16. （本小题满分12分）已知 ， ．
（1）若 ，求证： ；
（2）设 ，若 ，求 的值．
解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
a－b2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα?cosβ＋sinα?sinβ)＝2，
所以，cosα?cosβ＋sinα?sinβ＝0，
所以， ．
（2） ，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12 ．
所以，α－β＝ ，α＝ ＋β，
带入②得：sin( ＋β)＋sinβ＝ cosβ＋12 sinβ＝sin( ＋β)＝1，
所以， ＋β＝ ．
所以，α＝ ，β＝ ．
17. （本小题满分12分）
如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，过 作 ，垂足为 ，点 分别是棱 的中点．求证：
（1）平面 平面 ；
（2） ．
证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB，
所以F为SB的中点．
又E，G分别为SA，SC的中点，
所以，EF∥AB，EG∥AC．
又AB∩AC＝A，AB 面SBC，AC 面ABC，
所以，平面 平面 ．
（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF 平面ASB，AF⊥SB．
所以，AF⊥平面SBC．
又BC 平面SBC，
所以，AF⊥BC．
又AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以，BC⊥平面SAB．
又SA 平面SAB，
所以， ．
18. （本小题满分12分）
设 是首项为 ，公差为 的等差数列 ， 是其前 项和．记 ，
，其中 为实数．
（1）若 ，且 成等比数列，证明： （ ）；
（2）若 是等差数列，证明： ．
证：（1）若 ，则 ， ， ．
当 成等比数列， ，
即： ，得： ，又 ，故 ．
由此： ， ， ．
故： （ ）．
（2） ，
． (※)
若 是等差数列，则 型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有： ，即 ，而 ≠0，
故 ．
经检验，当 时 是等差数列．
19. （本小题满分12分）
设函数 ， ，其中 为实数．
（1）若 在 上是单调减函数，且 在 上有最小值，求 的取值范围；
（2）若 在 上是单调增函数，试求 的零点个数，并证明你的结论．
解：（1） ≤0在 上恒成立，则 ≥ ， ．
故： ≥1．
，
若1≤ ≤e，则 ≥0在 上恒成立，
此时， 在 上是单调增函数，无最小值，不合；
若 ＞e，则 在 上是单调减函数，在 上是单调增函数， ，满足．
故 的取值范围为： ＞e．
（2） ≥0在 上恒成立，则 ≤ex，
故： ≤1e ．
．
(?)若0＜ ≤1e ，令 ＞0得增区间为(0，1a )；
令 ＜0得减区间为(1a ，?∞)．
当x→0时，f(x)→?∞；当x→?∞时，f(x)→?∞；
当x＝1a 时，f(1a )＝?lna－1≥0，当且仅当 ＝1e 时取等号．
故：当 ＝1e 时，f(x)有1个零点；当0＜ ＜1e 时，f(x)有2个零点．
(?)若a＝0，则f(x)＝?lnx，易得f(x)有1个零点．
(?)若a＜0，则 在 上恒成立，
即： 在 上是单调增函数，
当x→0时，f(x)→?∞；当x→?∞时，f(x)→?∞．
此时，f(x)有1个零点．
综上所述：当 ＝1e 或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜ ＜1e 时，f(x)有2个零点．
20. 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.
（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立.用 表示张同学答对题的个数，求 的分布列和数学期望.
21. 已知是非零实数，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线l：x－y－ ＝0上．
（Ⅰ）若＝2，求抛物线C的方程;
（Ⅱ）设直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足为A1，B1，△AA1F，△BB1F的重心分别为G，H．求证：对任意非零实数，抛物线C的准线与
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