肇庆市中小学教学质量评估2015—2014学年第一学期统一检测题高二数学（理科）注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.参考公式：球的体积，球的表面积.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是A．圆柱B．圆台C．棱柱D．棱台2．下列命题中假命题是A．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直；B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行．3．直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率是A． B． C．或 D．或4．”是真命题，则A．．C．D．5．｜x－1｜＜2成立是x（x－3）＜0成立的A．充分而不必要条件　 　B．必要而不充分条件C．充分必要条件　　　 　D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为A．B．C．D．7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，则C的实轴长为A． B． C． D．8．如图，在正方体中，P为对角线的三等分点，则P到各顶点距离的不同取值有A．6个B．5个C．4个D．3个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 9．命题R，.的否定是 ▲ . 10．与直线平行且过点（1，2）的直线方程为 ▲ .11．抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是 ▲ . 12．如果点P在z轴上，且满足｜PO｜＝1（O是坐标原点），则点P到点A（1，1，1）的距离是 ▲ .13．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积S的取值范围是 ▲ .14．如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知，，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为 ▲ . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15．（本小题满分12分）已知半径为的球有一个内接正方体（即正方体的顶点都在球面上）.（1）求此球的体积；（2）求此球的内接正方体的体积；（3）求此球的表面积与其内接正方体的全面积之比.16．（本小题满分12分）已知圆C经过A（1，1）、B（2，）两点，且圆心C在直线l：上，求圆C的标准方程.17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，AC=3，BC=4，AB=5，，点D是AB的中点.（1）求证：∥平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.18．（本小题满分14分）已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是，， 且它的对角线的交点是M（3，3），求这个平行四边形其它两边所在直线的方程.19．（本小题满分14分）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．20．（本小题满分14分）设椭圆的左右顶点分别为，离心率．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且．（1）求椭圆的方程；（2）求动点C的轨迹E的方程；（3）设直线AC（C点不同于A，B）与直线交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．2015—2014学年第一学期统一检测题高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题题号12345678答案BACDBDAC二、填空题9．R，0 10． 11．12． 或 13．[1，] 14． 三、解答题15．（本小题满分12分） 解：（1）球的体积 （4分）（2）设正方体的棱长为a，所以对角线长为. （5分）因为球的半径为，且正方体内接于球，所以正方体的对角线就是球的直径，故=，解得. （7分） 因此正方体的体积. （8分）（3）由（2）得，所以正方体的全面积为， （9分）球的表面积， （10分）所以 . （12分）16．（本小题满分12分）解：方法1：设圆心C为（a，b），半径为R，依题意得， （6分）解得， （9分）所以圆C的标准方程为. （12分）方法2：因为A（1,1），B（2，-2），所以线段AB的中点D的坐标为， （2分）直线AB的斜率， （4分）因此线段AB的垂直平分线的方程是. （6分）圆心C的坐标满足方程组，解之得 （9分）所以圆心C的坐标是（-3，-2） （10分）半径 （11分）所以圆C的标准方程为 （12分）17．（本小题满分14分）方法1：（1）设与交点为E，连结DE，因为E为正方形CBB1C1对角线的交点，所以E为C1B的中点. （2分）又D是AB的中点，所以DE为(ABC1的中位线， （4分）故DE//AC1. （5分）因为AC1(平面CDB1，DE(平面CDB1，所以AC1//平面CDB1. （7分）（2）因为DE//AC1，所以(CED为异面直线与所成的角. （9分）在中，，，，（11分）所以， （13分）故异面直线与所成角的余弦值为 . （14分）方法2：因为在(ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，即，所以AC⊥BC. （3分）又三棱柱直棱柱，所以AC，BC，C1C两两垂直. （4分）如图，以C为坐标原点，直线AC，BC，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，， （6分）（1）设与交点为E，则E（0，2，2）. 连结DE.因为，，所以，即. （8分）因为AC1(平面CDB1，DE(平面CDB1，所以AC1//平面CDB1. （10分）（2），， （11分） 所以 ， （13分）故异面直线与所成角的余弦值为. （14分）18．（本小题满分14分）解：联立两条直线的方程，得，（2分）解得. （4分）如图平行四边形ABCD的一个顶点是，设顶点，由题意，点M（3，3）是线段AC的中点，（5分）所以， 解得 （7分）由已知，直线AD的斜率，因为直线， （8分）所以BC的方程为，即. （10分）由已知，直线AB的斜率，因为直线， （11分）所以CD的方程为，即. （13分）故其余两边所在直线的方程是，. （14分）19．（本小题满分14分）（1）证明：方法1：连接CO. 由3AD=DB知，点D为AO的中点. （1分）又∵AB为圆O的直径，∴，由知，，∴为等边三角形. （2分）故． （3分）∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面， （4分）又平面，∴， （5分）由PD(平面PAB，AO(平面PAB，且，得平面，又平面，∴． （6分）方法2：∵为圆的直径，∴， （1分）在中设，由，得，，，，∴，则， （2分）∴，即． （3分）∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面， （4分）又平面，∴， （5分）由PD(平面PAB，AO(平面PAB，且，得平面，又平面，∴． （6分）方法3：∵为圆的直径，∴， （1分）在中由得，，设，由得，，，由余弦定理得，， （2分）∴，即． （3分）∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面， （4分）又平面，∴， （5分）由PD(平面PAB，AO(平面PAB，且，得平面，又平面，∴． （6分）（2）方法1：过点作，垂足为，连接．（7分）由（1）知平面，又平面，∴， （8分）又，∴平面，又平面，∴， （9分）∴为二面角的平面角．（10分）设AD=1，由（1）可知，，（11分）又PD⊥DB，∴， （12分）∴在中，， （13分）∴，即二面角的余弦值为． （14分）方法2：以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，由，，得，， （7分）∴，，，，∴，，， （8分）由平面，知平面的一个法向量为． （10分）设平面的一个法向量为，则，即， （11分）令，则，，∴， （12分）设二面角的平面角的大小为，则， （13分）∴二面角的余弦值为． （14分）20．（本小题满分14分）解：（1）由题意可得，，∴， （2分）∴， （3分）所以椭圆的方程为． 广东省肇庆市中小学教学质量评估2015—2015学年高二第一学期统一检测数学（理）试题
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