湖南省岳阳市重点中学2015级高二期末考试试卷理科数学时量：120分钟 总分：150分命题：岳阳县一中 命题人：周军才一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.为虚数单位，则（ ）A.B.C. D.答案：C解析： 2. 若，则＝(　　)A．0　　　　　　　B．C． D．解析：选C　f′(x)＝ex＋xex，f′(1)＝2e. 已知双曲线的一个焦点,则双曲线的渐近线方（ 　） B. C. D. 答案：B解析：知双曲线的焦点轴，且，又一个焦点，∴双曲线的渐近线方程为(　　) 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(　　)设数列的前项和为.由，求出，…，推断：由满足对∈R都成立，推断：为奇函数由圆的面积，推断：椭圆的面积由…，推断：对一切N*，A解析：选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和等于Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A. 已知函数，若函数在上有3个零点，则的取值范围为(　　)A．(－24,8) B．(－24,1]C．[1,8] D．[1,8)[解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)?(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.当x[－2，－1)时，f(x)>0，函数f(x)单调递增；当x(－1,3)时，f(x)0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的极小值为f(3)＝－24，极大值为f(－1)＝8；而f(－2)＝1，f(5)＝8，函数图象大致如图所示．故要使方程g(x)＝f(x)－m在x[－2,5]上有3个零点，只需函数f(x)在[－2,5]内的函数图象与直线y＝m有3个交点．故即m[1,8)．[答案]　D的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为A. B. C. D. 答案：A解析：试题分析：设，则填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．9. 答案：4解析：10.已知，复数的实部为，虚部为1,则复数对应的点到原点距离的取值范围是 答案：解析：∵，∴11. 曲线C：在点(1，0)处的切线解析：设f(x)＝，则f′(x)＝所以f′(1)＝1.所以方程为y＝x－1. 棱长均为三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为解析：∵，四点共面，的最小值到底面的高.13. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中有5架“歼－15”飞机准备着舰如果甲、乙两机必须相邻着舰而丙、丁两机不能相邻着舰那么不同的着舰方法数是分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A有种方法；A与戊机形成三个“空”把丙、丁两机插入空中有种方法；考虑A与戊机的排法有种方法．可知共有AA＝24种不同的着舰方法． 椭圆的左、右顶点分别为，点在上直线的斜率，直线的斜率，则 ?= .答案：－椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x，y)，则k＝＝，而＋＝1，即y＝(4－x)，所以k＝－有两个不同的极值点，且，则实数的范围是 答案：解析：定义域为，令，则在内有两个不同的实数根，结合图象知三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）设:实数满足, 实数满足(1)若且为真，求实数的取值范围(2)若其中是的充分不必要条件,求实数的取值范围. 由得当时，,即为真时实数的取值范围是.由 得 得即为真时实数的取值范围是若为真，则真且真，所以实数的取值范围是. (2) 由得 是的充分不必要条件，即,且, 设A=,B=,则,又A==, B==}，则,且所以实数的取值范围是如图,在三棱柱中,侧棱垂直底面,，.（）求证:；（）求二面角的大小.（1）∵∴，又∴ ∴∴（2）取的中点为，在平面内过作于点，连接则，∴，而∴∴是二面角的∴∴二面角18. （本小题满分12分）时下，网校教学越越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求的值；（2）假设网校的员工工资办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）1）因为时，， 代入关系式，得，解得.……………………4分（2）由（1）可知，套题每日的销售量，……………5分 所以每日销售套题所获得的利润……………………8分从而. 令，得,且在上,，函数单调递增；在上，，函数单调递减， ……………………10分所以是函数在内的极大值点，也是最大值点，所以当时，函数取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12分19. （本小题满分13分）设数列的前项和为)，且方程有一根为－1，＝1,2,3…….(1)求；(2)猜想数列的通项公式，并给出严格的证明．解：(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.……………3分当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是2－a2－a2＝0，解得a2＝.……………5分(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即S－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.由可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3….下面用数学归纳法证明这个结论．()n＝1时已知结论成立．(?)假设n＝k(k≥1，kN*)时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1时，由得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．综上，由()(?)可知Sn＝对所有正整数n都成立．20. （本小题满分13分）已知椭圆：离心率为，且. （1）求椭圆的方程；过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：设椭圆的焦距为，则由题设可知，解此方程组得，. 所以椭圆C的方程是. ……………………5分解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理，得．设点A、B的坐标分别为，则 因为及所以 …………………9分当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，所以解得此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. …………………11分当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件. …………………13分解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是 若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是 ……………7分由解得.由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）. ………………8分事实上点T（0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，过点T（0，1）； 当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得设点A、B的坐标为，则 …………………10分因为，所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件. …………………13分已知 （1）若，时，求证：对于恒成立；（2）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；（3）利用（1）的结论证明：若，则．解：（1）设 则………………….2分（-1，0）0（0，+）+0-?最大值?当时，有最大值0恒成立。即对于恒成立。………………………….分（2）时，有单调递减区间，有解，即有解，有解， ……………….分①时合题意②时，，即，的取值范围是 ………………………….分 （3）证明： 当时，，由（）知等号在即时成立。而， 所以成立。…………………….13分本卷第1页（共9页）湖南省岳阳市重点中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学（理）试题
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