求数列中几种类型的通项公式

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求数列中几种类型的通项公式
制作:高二数学组
一、由递推关系求通项公式
(1)递推式为 = + 及 = ( 为常数)(可利用等差、等比数列来求)
例、⒈ 已知数列{ }满足 = +2,且 =1,求 .
⒉ 已知数列{ }满足 = ,且 =2,求 .

(2)递推式为 = + ,( 需可求和)
例、已知数列{ }满足 = + , =1,求 .

练习 已知数列{ }中, = ,且当 时 ,求通项公式

(3) 递推式为 = + ( 为常数)
例、已知数列{ }满足 =3 +2,且 =1,求 .
简解:法一、由已知得 =3 +2, =3 +2,相减得 - =3( - )即数列
{ - }是 =3的等比数列,所以 - =( - ) 且 - =4,又 =3 +2,
代入可得 =2 -1
法二、由法一得{ - }是 =3的等比数列,则 - =4, - = 4 3, - = 4 ,…, - = 4 .以上n-1式累加得 - = 4(1+3+ + +…+ )= ,所以可得 =2 -1
法三、由递推式 =3 + 2,得 + 1=3( +1)即数列{ + 1}是公比为3的等比数列,且首项为 +1=2,所以 +1=2 ,即 =2 -1
练习 已知数列{ }满足 =2 -1,且 =2,求 .

(4)递推式为 = + ( 为常数)
例 已知数列{ }满足 = + ,且 = ,求 .
(提示:两边同时除以 转化为类型二来求)



练习 已知数列{ }满足 =2 + ,且 =1,求 .


(5)递推式为 =
例 在数列{ }中, =2, = ,求 .


练习 已知: =1, ,求 .


(6)递推式为 = (可先求倒数,转化成数列{ }来求)
例 已知数列{ }满足 =1, ,求 .


(7)其他 例 已知数列{ }满足: =1, , ( )令 。① 求证:数列{ }是等比数列,并求 ;②求 .

二、已知 之间的关系来求通项公式
利用公式 (n 2),注意首项.
例 已知数列{ }满足 = +1,求 .

练习 已知数列{ }的前n项和为 ,满足 ,其中 >1,求数列{ }的通项公式。


三、已知 和 的关系求数列的通项公式
常用思路 1. 消 ,转化为 的关系,再求 (优先考虑);
2. 消 ,转化为 的关系,先求 ,再求 。
利用公式 (n 2),注意首项.
例 已知数列{ }的前n项和为 ,若对任意的 ,都有 =2 -3 .
① 求数列{ }的首项 及递推关系式 = ;②求通项公式 。




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