江苏省南京、盐城市届高三第二次模拟考试 数 学 .03注意事项：1．本试卷共160分考试时120分钟．2．答题前，务必将自己的班级、写在答题考试结束后，交回答题．公式：V＝中S为式：SπRh，其中为一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数＝＋的定义域为2．(i为虚数单位，aR)．若z1z2为实数，则a的值为 ▲ ．3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．5．an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为 ▲ ．6．执行如图所示的程图，则输出的的值7．(ωx＋φ)(ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π))的．－＝1(a＞b＞0)2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为10．已知＝1，＝，＝＝，则的为 ▲ ．1．(5，3)作直线l与圆x2＋2＝12．＞为 ▲ ．1．在中，，则实数的取值范围14．＝＋＋＝为二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图，四棱锥－中，为矩形，平面平面， BP＝为的中点 （1）求证：平面； （2）求证：平面．16．(本小题满分14分)α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1 ，y1 )，α∈(，α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)．（1）若x1＝，求x2；（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及 △BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．18． (本小题满分16分)已知椭圆C∶＋＝1(a＞b＞0)焦点为焦距为，准线方程为＝2（1）求椭圆的方程；(0，b)，求过P，Q，F2三点的圆的方程；（3）若＝λλ∈[，?的最大值．19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝R，且a＞（1）＝＝，求函数的极值（2）设g(x)＝(x－)ex－f(x)．① 当a＝，(0，＋)，都有g(x)≥1成立，求的值② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1使g(x)＋g′(x)＝成立，求的取值范围20．(本小题满分16分)n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）设a1＜n∈N*，且n≥2，都有＜南京市届高三 .03注意事项：1．本试卷共．答题前，务必将自己的班级、写在答题考试结束后，交回答题．答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图△ABC为圆的内接三角形＝为圆的弦且∥AC．过点作圆的切线与的延长线交于点与交于点 （1）求证：四边形ACBE为平行四边形；＝＝CF的长.B．选修4—2：矩阵与变换 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝． （1）求矩阵A； （2）若A＝，求x，y的值．C．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，(＝2cosθ关于直线θ＝(()对称的曲线的极坐标方程．D．选修4—5：不等式选讲已知R，且x＋，x－，求证：x＋【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某申请AB，C三每位申请其中一，且申请其中是等可能的（）求有2人申请A的概率（）申请个数分布列与期望(X)．23．（本小题满分10分） n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，f(n)Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；（2）求f(n)的表达式．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1(0，1] 2．4 3．300 4． 5．2 6．4 7．1 8． 9． 10．60° 11．1或 12．2－2 13．(，) 14．[－1，1]二、解答题15．证：（1）设AC连结因为ABCD为矩形，所以O是的中点是中点平面BDE，OE平面BDE，所以AP∥平面BDE． …………………………………………6分（2）平面平面平面平面＝所以BC⊥平面平面因为PB⊥PA，BC∩PB＝，平面PBC，所以PA⊥平面PBC． …………………………………………12分因为BE平面因为BP＝，平面PAC，所以BE⊥平面PAC． …………………………………………14分16．，y1＞0，所以y1＝＝． 所以sinα＝，cosα＝． ………………………2分所以x2＝cos(α＋)＝αcos－αsin＝－ 解法二：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．A(，)，则＝(，)，…………2分＝?＝cos∠AOB，所以x2＋y2＝ ……4分 又x22＋y22＝1，联立消去y2得50 x22－30x2－7＝0 解得x2＝－或，又x2＜0，所以x2＝－． ………………………6分 解法三：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝． 因此A(，)，所以tanα＝．………2分α＋)＝＝－7，所以直线OB的方程为y＝－7x ……………4分 由得x＝±，又x2＜0，所以x2＝－． …………………6分（2）S1＝sinαcosα＝－sin2α． …………………………………………8分因为α(，)，所以α＋()． 所以S2sin(α＋)(α＋)＝－(2α＋)＝－α．……………………………10分 因为S1＝S2，所以α＝－cos2α，即tan2α＝－． …………………………………12分 所以＝－，解得tanαα＝－． 因为α(，)，所以tanα＝2．………14分解：设∠AMN＝θ，在△A＝．因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ． ………………2分在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． …………………6分AP2＝AM2＋MP2－2 AM?MP?cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分＝sin2(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，°)． …………………………………………12分 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．答：设计∠AMN为60(时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分解法二(构造直角三角形)：设∠PMD＝θ，在△PMD中，∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ． ……………2分在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥时，结论也正确)．……………6分AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ …………………………8分＝?＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋＝＋sin(2θ－)，θ∈(0，)12分当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2． 此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30° …………………………14分解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM?AN?cos∠MAN，即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4． …………………………………………2分因为＝，即＝，所以sinα＝y，cosα＝＝＝． …………………………………………6分cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝?－?y＝．……………………………8分在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2 AM?PM?cos∠AMP，即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy．………………………………………12分因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．所以AP2≤12，即AP≤2．当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2． 答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分 解法四(坐标法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．设M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．∵MN＝2，∴(x1－x2)2＋3x＝4． …………………………………………2分MN的中点K(，x2)． ∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．∴PK2＝－＋－＝?kPK＝－?＝－1， …………………………………………6分 ∴y0－＝－∴(y0－＝－∴(1＋－＝(x0－＝∴(x0－＝．∵x0－∴x0－x2，∴x0＝x1＋2x2，∴y0＝x1． …………………………………………8分∴AP2＝x＝(2x2＋x1)2＋x＝x＋4x＋2x1x2＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分即AP≤2． 答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分解法五(变换法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．设M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．∵MN＝2，∴(x1－x2)2＋3x＝4．即x＋4x＝4＋2x1x2∴4＋2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2． …………………4分∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．顺时针方向旋转60°后得到．＝(x0－x1，y0)，＝(x2－x1江苏省南京、盐城市届高三第二次模拟考试数学试题（WORD版）
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