北京市石景山区2014届高三第一学期期末测试数学理试题
　　本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.
第一部分（ 共40分）
一、共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，那么（ ）
A．　B．
C．　D．
2．复数（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，则“”是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知数列为等差数列，，那么数列通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
5．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，
则输出的的值为（　　）
A．B．
C．D．

6． 在边长为的正方形中任取一点，则点恰好落在正方形与曲线围成的区域内(阴影部分)的概率为（ ）
A．B．
C．D．

7．用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A．B． C．D．
8．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

第二部分（非选择题 共110分）
二、题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知圆的参数方程为为参数，则圆的直角坐标方程为_______________，圆心到直线的距离为______．
10．在中，角的对边分别为，若，，，则______．
11． 若，满足约束条件则的最大值为 ．
12．如图，已知在中，，是上一点，
以为圆心，为半径的圆与交于点，与切
于点，，，则的长为 ，
的长为 ．
13．已知抛物线的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点作于，若直线的倾斜角为，则______．
已知四边形是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么异面直线与所成的角的度数为 ，当三棱锥的体积取得最大值时， 四棱锥的高的长为 ．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
　　已知函数．
　　（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
　　（Ⅱ）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．

16．（本小题满分13分）
　　北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为分，规定测试成绩在之间为体质优秀；在之间为体质良好；在之间为体质合格；在之间为体质不合格．
现从某校高三年级的名学生中随机抽取名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：
91356
80112233344566779
7056679
6458
56
　　
　　（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；
　　（Ⅱ）根据以上名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取名学生，再从这名学生中选出人．
　　（?）求在选出的名学生中至少有名体质为优秀的概率；
　　（?）记为在选出的名学生中体质为良好的人数，求的分布列及数学期望．

17.（本小题满分14分）
　　如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，
，∥，且，，为的中点．
　　（Ⅰ）求证：平面；
　　（Ⅱ）求二面角的余弦值；
　　（Ⅲ）在线段上是否存在一点（不与两点重合），使得∥平面?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

18．（本小题满分13分）
　　已知函数（为自然对数的底数）.
　　（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
　　（Ⅱ）求函数的单调区间；
　　（Ⅲ）已知函数在处取得极小值，不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围.

19．（本小题满分14分）
　　已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为.
　　（Ⅰ）求椭圆的方程；
　　（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

20．（本小题满分13分）
　　已知集合，对于数列中.
　　（Ⅰ）若项数列满足，，则数列中有多少项取值为零？()
　　（Ⅱ）若各项非零数列和新数列满足（）．
　　（?）若首项，末项，求证数列是等差数列；
（?）若首项，末项，记数列的前项和为，求的最大值和最小值．

石景山区2015—2015学年第一学期期末考试
高三数学（理科）参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
题号12345678
答案DCAACBBD

二、题共6小题，每小题5分，共30分．
题号91011121314
答案，，

(两空的题目第一空2分，第二空3分)

三、解答题共6小题，共80分．
15．（本小题共13分）
　　解：（Ⅰ） …………2分
　　 ， ……………4分
　　 ，， ，， ………6分
　　所以函数的单调递增区间为． ……………7分
　　（Ⅱ）因为，， ……………9分
　　　　　　， ， ……………11分
　　 所以当，即时，函数取得最小值．………13分
16．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有人．…………3分
　（Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为 ．
所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为，从体质为优秀的学生中抽取的人数为．…6分
　　　（?）设“在选出的名学生中至少有名体质为优秀”为事件，
　　　则 ． 故在选出的名学生中至少有名体质为优秀的概率为．……9分
　　　（?）解：随机变量的所有取值为．，
，． …………12分
　　　所以，随机变量的分布列为:
　　　　
　　　． ……………13分
17．（本小题共14分）
（Ⅰ）证明：
　　　因为平面，平面，
　　　所以. ……………1分
　　　取的中点，连结，
　　　因为底面为直角梯形，∥，，且，
　　　所以四边形为正方形，所以，且，
　　　所以，即. ……………3分
　　　又，所以平面. ……………4分
（Ⅱ）解：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．………5分
　　　则，，，，
　　　所以，，．
　　　因为平面，所以为平面的一个法向量． ……6分
　 设平面的法向量为，
　 由，得
　 令，则，，
　 所以是平面的一个法向量． ………8分
　 所以
　 因为二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． ………9分
（Ⅲ）解：假设在线段上存在点（不与两点重合），使得∥平面．
设，则，．
设平面的法向量为，
　　　由，得
　　　令，则，，
所以是平面的一个法向量．…12分
　　　因为∥平面，所以，即， ……………13分
　　　解得，
　　　所以在线段上存在一点（不与两点重合），使得∥平面，且．……14分
18.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）当时，，，，得，………2分
　　所以曲线在点处的切线方程为. ……………3分
　　（Ⅱ）.
　　当时，恒成立，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；………5分
　　当时，时，，时，，
　　此时的单调递增区间为，单调递减区间为.……7分
（Ⅲ）由题意知得，经检验此时在处取得极小值. ………8分
　　因为，所以在上有解，即使成立，…9分
　　即使成立， …………10分
　　所以.
　　令，，所以在上单调递减，在上单调递增，
　　则， ……………12分
所以. ……………13分
19．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以， 所以， …………1分
因为椭圆的离心率为， 所以，即 ， …………2分
解得， ……………4分
所以椭圆的方程为. ……………5分
　　 （Ⅱ）设，，
　　 ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
　　 由得， ………7分
　　　　所以， ……………8分
　　　　因为，即为中点，所以，即.
　　 所以， ……………9分
　　 因为直线， 所以，所以直线的方程为，
　　　　即 ，显然直线恒过定点. ……………11分
　　　　②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
　　　　此时直线为轴，也过点. ……………13分
　　　　综上所述直线恒过定点. ……………14分
20．（本小题共13分）
　　解：（Ⅰ）设数列中项为分别有项．由题意知
　　解得．所以数列中有项取值为零． ……3分
　　（Ⅱ）
　　（?）且，得到，
　　若，则满足．此时，数列是等差数列；
　　若中有个，则不满足题意；
　　所以数列是等差数列． ……………7分
　　（?）因为数列满足，所以，
　　根据题意有末项，所以．
　　而，于是为正奇数，且中有个和个．

　　要求的最大值，则只需前项取，后项取，
　　所以 （为正奇数）．
　　要求的最小值，则只需前项取，后项取，
　　则 （为正奇数）． …………13分

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