高考数学椭圆复习课件及强化训练题(新人教B版)

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年高考数学总复习 8-4 椭圆但因为测试 新人教B版

1.()(2011•东莞模拟)设P是椭圆x225+y216=1上的点,若F1、F2是椭圆的两个焦点,则PF1+PF2等于(  )
A.4     B.5
C.8     D.10
[答案] D
[解析] ∵a2=25,∴a=5,∴PF1+PF2=2a=10.
(理)(2011•浙江五校联考)椭圆x216+y27=1的左、右焦点分别为F1、F2,一直线过F1交椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为(  )
A.32     B.1 6
C.8     D.4
[答案] B
[解析] 由题设条件知△ABF2的周长为AF1+AF2+BF1+BF2=4a=16.
2.()(2011•岳阳月考)椭圆x29+y24+k=1的离心率为45,则k的值为(  )
A.-21 B.21
C.-1925或21 D.1925或21
[答案] C
[解析] 若a2=9,b2=4+k,则c=5-k,由ca=45即5-k3=45,得k=-1925;若a2=4+k,b2=9,则c=k-5,
由ca=45,即k-54+k=45,解得k=21.
(理)(2011•广东省江门市模拟)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1、B2,焦点为F1、F2,若四边形B1F1B2F2是正方形,则这个椭圆的离心率e等于(  )
A.22 B.12
C.32 D.以上都不是
[答案] A
[解析] 画出草图(图略),根据题意可得e=ca=cos45°=22,故选A.
3.“>n >0”是“方程x2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的(  )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵方程x2+ny2=1,即x21+y21n=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴需有:1>01n>01<1n,
∴>n>0,故互为充要条件.
4.()(2011•抚顺六校检测)椭圆x24+y2=1的焦点为F1,F2,点在椭圆上,F1→•F2→=0,则到y轴的距离为(  )
A.233 B.263
C.33 D.3
[答案] B
[分析] 条件F1→•F2→=0,说明点在以线段F1F 2为直径的圆上,点又在椭圆上,通过方程组可求得点的坐标,即可求出点到y轴的距离.
[解析] 椭圆的焦点坐标是(±3,0),点在以线段F1F2为直径的圆上,该圆的方程是x2+y2=3,即y2=3-x2,代入椭圆得x24+3-x2=1,解得x2=83,即x=263,此即点到y轴的距离.
[点评] 满足F→•B→=0(其中A,B是平面上两个不同的定点)的动点的轨迹是以线段AB为直径的圆.
(理)(2011•河北石家庄一模)已知椭圆x216+y225=1的焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点,若连接F1,F2,P三点恰好能构成直角三角形,则点P到y轴的距离是(  )
A.165 B.3
C.163 D.253
[答案] A
[解析] F1(0,-3),F2(0,3),∵3<4,
∴∠F1F2P=90°或∠F2F1P=90°.
设P(x,3),代入椭圆方程得x=±165.
即点P到y轴的距离是165.
5.()(2011•东淄博重点中学期中)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为13,则椭圆方程为(  )
A.x2144+y2128=1 B.x236+y220=1
C.x232+y236=1 D.x236+y232=1
[答案] D
[解析] 2a=12,∴a=6,∵e=ca=13,
∴c=2,∴b2=a2-c2=32,故选D.
(理)(2011•长沙模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是(  )
A.x24+y23=1 B.x216+y212=1
C.x24+y2=1 D.x216+y24=1
[答案] A
[解析] 由x2+y2-2x-15=0得,(x-1)2+y2=16,
∴r=4,∴2a=4,∴a=2,
∵e=ca=12,∴c=1,∴b2=a2-c2=3.故选A.
6.()(2011•银川二模)两个正数a、b的等差中项是52 ,等比中项是6,且a>b,则椭圆x2a2+y2b2=1的离心率e等于(  )
A.32 B.133
C.53 D.13
[答案] C
[解析] 由题意可知a+b=5a•b=6,又因为a>b,
所以解得a=3b=2,所以椭圆的半焦距为c=5,
所以椭圆的离心率e=ca=53,故选C.
(理)(2011•杭州二检、江西七校联考)如下图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2>a1c2;④c1a1<c2a2.其中正确式子的序号是(  )

A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
[答案] B
[解析] 给出图形的题目,要充分利用图形提供的信息解题.
∵P点既在椭圆Ⅰ上,又在椭圆Ⅱ上,且F是椭圆Ⅰ和Ⅱ的同一侧的焦点,∴PF=a-c,
即a1-c1=a2-c2,故②正确;
由a1-c1=a2-c2得a1-a2=c1-c2,c1=a1-a2+c2,
∴c1a2-a1c2=(a1-a2+c2)a2-a1c2=(a1-a2)a2+(a2-a1)c2=(a1-a2)(a2-c2),
又∵从图中可以看出,a1>a2,a2>c2,∴c1a2-a1c2>0,即c1a2>a1c2,故③正确,故选B.
7.()(2011•南京模拟)已知P是以F1,F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点,若PF1→•PF2→=0,tan∠PF1F2=12,则此椭圆的离心率为________.
[答案] 53
[解析] ∵PF1→•PF2→=0,∴PF1⊥PF2,
在Rt△PF1F2中,tan∠PF1F2=PF2PF1=12,
设PF2=x,则PF1=2x,
由椭圆的定义PF1+PF2=2a,∴x=2a3,
∵PF12+PF22=F1F22,∴x2+4x2=4c2,
∴209a2=4c2,∴e=ca=53.
(理)已知1+2n=1(>0,n>0),则当n取得最小值时,椭圆x22+y2n2=1的离心率是________.
[答案] 32
[解析] ∵>0,n>0
∴1=1+2n≥22n,
∴n≥8,当且仅当1=2n,即n=2时等号成立,
由n=2n=8,解得=2,n=4.
即当=2,n=4时,n取得最小值8,
∴离心率e=n2-2n =32.
8.()已知实数k使函数y=coskx的周期不小于2,则方程x23+y2k=1表示椭圆的概率为________.
[答案] 12
[解析] 由条件2πk≥2,∴-π≤k≤π,
当0<k≤π且k≠3时,方程x23+y2k=1表示椭圆,
∴概率P=12.
(理)(2010•深圳市调研)已知椭圆:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的面积为πab,包含于平面区域Ω:x≤2y≤3内,向Ω内随机投一点Q,点Q落在椭圆内的概率为π4,则椭圆的方程为________.
[答案] x24+y23=1
[解析] 平面区域Ω:x≤2y≤3是一个矩形区域,如下图所示,

依题意及几何概型,可得πab83=π4,
即ab=23.
因为0<a≤2,0<b≤3,
所以a=2,b=3.
所以,椭圆的方程为x24+y23=1.
9.(2011•湖南长沙一中月考)直线l:x-y=0与椭圆x22+y2=1相交A、B两点,点C是椭圆上的动点,则△ABC面积的最大值为_ _______.
[答案] 2
[解析] 设与l平行的直线方程为x-y+a=0,当此直线与椭圆的切点为C时,△ABC的面积最大,将y=x+a代入x22+y2=0中整理得,3x2+4ax+2(a2-1)=0,由Δ=16a2-24(a2-1)=0得,a=±3,两平行直线x-y=0与x-y+3=0的距离d=62,将y=x代入x22+y2=1中得,x1=-63,x2=63,
∴AB=1+163-(-63) =433,
∴S△ABC=12AB•d=12×433×62=2.
10.()(2010•新标全国)设F1、F2分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A、B两点,且AF2、AB、BF2成等差数列.
(1)求AB;
(2)若直线l的斜率为1,求b的值.
[解析] (1)由椭圆定义知AF2+AB+BF2=4,
又2AB=AF2+BF2,得AB=43.
(2)l的方程为y=x+c,其中c=1-b2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组
y=x+c,x2+y2b2=1.
化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.
则x1+x2=-2c1+b2,x1x2=1-2b21+b2.
因为直线AB的斜率为1,所以AB=2x2-x1,
即43=2x2-x1.
则89=(x1+x2)2-4x1x2
=41-b21+b22-41-2b21+b2=8b41+b22.
解得b=22.
(理)(2011•北京,19)已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,右焦点为(22,0),斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).
(1)求椭圆G的方程;
(2)求△PAB的面积.
[解析] (1)由已知得,c=22,ca=63,
解得a=23,
又b2=a2-c2=4,
所以椭圆G的方程为x212+y24=1.
(2)设直线l的方程为y=x+
由y=x+.x212+y24=1得
4x2+6x+32-12=0. ①
设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB中点为E(x0,y0),则
x0=x1+x22=-34,
y0=x0+=4.
因为AB是等腰△PAB的底边,
所以PE⊥AB,
所以PE的斜率k=2-4-3+34=-1.
解得=2,
此时方程①为4x2+12x=0,
解得x1=-3,x2=0,
所以y1=-1,y2=2,所以AB=32,
此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d=-3-2+22=322,
所以△PAB的面积S=12AB•d=92.




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