2013年高一数学上册第一、二章综合能力测试题(含答案)

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第一、二章综合能力检测题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷非两部分,满分150分,时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.点C在线段AB上,且AC→=25AB→,若AC→=λBC→,则λ等于(  )
A.23         B.32
C.-23D.-32
[答案] C
[解析] 由AC→=25AB→知,AC→?BC→=2?3,且方向相反,∴AC→=-23BC→,∴λ=-23.

2.要想得到函数y=sinx-π3的图象,只须将y=cosx的图象(  )
A.向右平移π3个单位
B.向左平移π3个单位
C.向右平移5π6个单位
D.向左平移5π6个单位
[答案] C
[解析] ∵y=sinx-π3=cosπ2-x-π3
=cos5π6-x=cosx-5π6,
∴将y=cosx的图象向右移5π6个单位可得到
y=sinx-π3的图象.
3.设e1与e2是不共线向量,a=ke1+e2,b=e1+ke2,若a∥b且a≠b,则实数k的值为(  )
A.1
B.-1
C.0
D.±1
[答案] B
[解析] ∵a∥b,∴存在实数λ,使a=λb(b≠0),
∴ke1+e2=λ(e1+ke2),∴(k-λ)e1=(λk-1)e2,
∵e1与e2不共线,∴k-λ=0λk-1=0,∴λ=k=±1,
∵a≠b,∴k≠1.
[点评] e1与e2不共线,又a∥b,∴可知1k=k1,∴k=±1,∵a≠b,∴k=-1.一般地,若e1与e2不共线,a=e1+ne2,b=λe1+μe2,若a∥b,则有λ=nμ.
4.若sinθ=,<1,-180°<θ<-90°,则tanθ等于(  )
A.1-2
B.-1-2
C.±1-2
D.-1-2
[答案] B
[解析] ∵-180°<θ<-90°,
∴sinθ=<0,tanθ>0,
故可知tanθ=-1-2.
5.△ABC中,AB→•BC→<0,BC→•AC→<0,则该三角形为(  )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
[答案] C
[解析] 由AB→•BC→<0知,∠ABC为锐角;由BC→•AC→<0知∠ACB为钝角,故选C.
6.设α是第二象限的角,且cosα2=-cosα2,则α2所在的象限是(  )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
[答案] C
[解析] ∵α为第二象限角,∴α2为第一或三象限角,∵cosα2=-cosα2,∴cosα2≤0,∴选C.
7.已知点A(2,-1),B(4,2),点P在x轴上,当PA→•PB→取最小值时,P点的坐标是(  )
A.(2,0)
B.(4,0)
C.103,0
D.(3,0)
[答案] D
[解析] 设P(x,0),则PA→=(2-x,-1),PB→=(4-x,2),PA→•PB→=(2-x)(4-x)-2=x2-6x+6=(x-3)2-3,当x=3时,取最小值-3,∴P(3,0).
8.O是△ABC所在平面内一点,且满足OB→-OC→=OB→+OC→-2OA→,则△ABC为(  )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
[答案] B
[解析] ∵OB→-OC→=OC→+OB→-2OA→,∴CB→=AB→+AC→,由向量加法的平行四边形法则知,以AB、AC为邻边的平行四边形两对角线长度相等,∴AB→⊥AC→.
9.如图是函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)一个周期的图象,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)的值等于(  )

A.2
B.22
C.2+2
D.22
[答案] A
[解析] 由图知:T=8=2πω,∴ω=π4,
又A=2,∴f(x)=2sinπ4x,
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+(5)+f(6)=2sinπ4+sin2π4+sin3π4+sin4π4+sin5π4+sin6π4=2sin3π4=2.
[点评] 观察图象可知f(x)的图象关于点(4,0)中心对称,故f(3)+f(5)=0,f(2)+f(6)=0,又f(4)=0,故原式=f(1)=2.
10.已知y=Asin(ωx+φ)在同一周期内,x=π9时有最大值12,x=4π9时有最小值-12,则函数的解析式为(  )
A.y=2sinx3-π6
B.y=12sin3x+π6
C.y=2sin3x-π6
D.y=12sin3x-π6
[答案] B
[解析] 由条件x=π9时有最大值12,x=4π9时有最小值-12可知,A=12,T2=4π9-π9,∴T=2π3,∴ω=3,
∴y=12sin(3x+φ),将π9,12代入得,
12=12sinπ3+φ,
∴π3+φ=2kπ+π2(k∈Z),∴φ=2kπ+π6,
取k=0知选B.
11.设点O是面积为4的△ABC内部一点,且有OA→+OB→+2OC→=0,则△AOC的面积为(  )
A.2
B.1
C.12
D.13
[答案] B
[解析] 如图,以OA、OB为邻边作▱OADB,则OD→=OA→+OB→,结合条件OA→+OB→+2OC→=0知,OD→=-2OC→,

设OD交AB于,则OD→=2O→,∴O→=-OC→,
故O为C的中点,
∴S△AOC=12S△CA=14S△ABC=14×4=1.
12.已知sinα+cosα=713 (0<α<π),则tanα=(  )
A.-512
B.-125
C.512
D.-125或-512
[答案] B
[解析] 解法一:∵sinα+cosα=713,0<713<1,0<α<π,∴π2<α<π,
∴sinα>0,cosα<0,且sinα>cosα,
∴tanα<0且tanα>1,故选B.
解法二:两边平方得sinαcosα=-60169,
∴tanαtan2α+1=-60169,∴60tan2α+169tanα+60=0,
∴(12tanα+5)(5tanα+12)=0,
∴tanα=-125或-512,
∵0<α<π,sinα+cosα=713>0,∴tanα=-125.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)
13.已知扇形的圆心角为72°,半径为20c,则扇形的面积为________.
[答案] 8πc2
[解析] ∵72°=π180×72=2π5,∴l=2π5×20=8π,
S=12l•r=12×8π×20=80π(c2).
14.已知a=(3,4),b=(2,)且a与b夹角为锐角,则的取值范围是________.
[答案] >-32且≠83
[解析] a•b=6+4>0,∴>-32,
又当a与b同向时,23=4,∴=83,
故>-32且≠83.
15.集合A={xkπ-π4<x<kπ+π4,k∈Z},B={xsinx>12},则A∩B=________.
[答案] {xπ6+2kπ<x<π4+2kπ,k∈Z}∪{x3π4+2kπ<x<5π6+2kπ,k∈Z}
[解析] B={xπ6+2kπ<x<5π6+2kπ,k∈Z}.
如图可求A∩B.

16.已知θ为第三象限角,1-sinθcosθ-3cos2θ=0,则5sin2θ+3sinθcosθ=________.
[答案] 265
[解析] ∵1-sinθcosθ-3cos2θ=0,
∴sin2θ-sinθcosθ-2cos2θ=0,
∴(sinθ-2cosθ)(sinθ+cosθ)=0,
∵θ为第三象限角,∴sinθ+cosθ<0,
∴sinθ=2cosθ,∴tanθ=2,
∴5sin2θ+3sinθcosθ=5tan2θ+3tanθtan2θ+1=265.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)已知cosθ+π2=-12,求
cos(θ+π)sinπ2-θcos(3π-θ)-1+cos(θ-2π)cos(-θ)•cos(π-θ)+sinθ+5π2的值.
[解析] ∵cosθ+π2=-12,∴sinθ=12,
原式=-cosθcosθ(-cosθ-1)+cosθcosθ•(-cosθ)+cosθ
=11+cosθ+11-cosθ=2sin2θ=8.
18.(本题满分12分)已知A(-1,2),B(2,8).
(1)若AC→=13AB→,DA→=-23AB→,求CD→的坐标;
(2)设G(0,5),若AE→⊥BG→,BE→∥BG→,求E点坐标.
[解析] (1)∵AB→=(3,6),AC→=13AB→=(1,2),
DA→=-23AB→=(-2,-4),
∴C(0,4),D(1,6),∴CD→=(1,2).
(2)设E(x,y),则AE→=(x+1,y-2),BE→=(x-2,y-8),∵BG→=(-2,-3),AE→⊥BG→,BE→∥BG→,
∴-2(x+1)-3(y-2)=0-3(x-2)+2(y-8)=0,∴x=-2213y=3213.
∴E点坐标为-2213,3213.
19.(本题满分12分)在▱ABCD中,点在AB上,且A=3B,点N在BD上,且BN→=λBD→,C、、N三点共线,求λ的值.
[证明] 设AB→=e1,AD→=e2,则BD→=e2-e1,
BN→=λBD→=λ(e2-e1),B→=14AB→=14e1,BC→=AD→=e2,
∴C→=B→+BC→
=14e1+e2,
N→=B→+BN→=14e1+λ(e2-e1)=λe2+14-λe1,
∵、N、C共线,∴N→与C→共线,
∵e1与e2不共线,∴14-λ14=λ1,∴λ=15.
20.(本题满分12分)是否存在实数a,使得函数y=sin2x+acosx-1+58a在闭区间0,π2上最大值为1?若存在,求出对应的a值,若不存在,说明理由.
[解析] y=-cos2x+acosx+5a8
=-(cosx-a2)2+a24+5a8,
∵0≤x≤π2,∴0≤cosx≤1,
∵最大值为1,
∴(Ⅰ)0≤a2≤1a24+5a8=1或(Ⅱ)a2<05a8=1或(Ⅲ)a2>1-1+a+5a8=1,
由(Ⅰ)解得a=89-54,(Ⅱ)(Ⅲ)无解,
∴a=89-54.
[点评] 此类问题一般把cosx(或sinx)看成未知数整理为二次函数,然后由x的范围,得出cosx(或sinx)的取值范围A后,分为①A在对称轴左侧(或右侧),用单调性讨论;②对称轴在A内,在顶点处取得最值.试一试解答下题:
是否存在实数λ,使函数f(x)=-2sin2x-4λcosx+10≤x≤π2的最小值是-32?若存在,求出对应的λ值,若不存在,试说明理由.
答案为λ=58或12.
21.(本题满分12分)
(1)角α的终边经过点P(sin150°,cos150°),求tanα.
(2)角α的终边在直线y=-3x上,求sinα、cosα.
[解析] (1)∵P12,-32,∴tanα=-3212=-3.
(2)在角α终边上任取一点P(x,y),则y=-3x,
P点到原点距离r=x2+y2=10x,
当x>0时,r=10x,∴sinα=yr=-3x10x=-31010,
cosα=xr=x10x=1010,
当x<0时,r=-10x,∴sinα=yr=31010,
cosα=xr=-1010.
22.(本题满分14分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ<π2)的一段图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调减区间,并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合;

(3)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?
[解析] (1)由图知A=3,34T=4π-π4=15π4,
∴T=5π,∴ω=25,∴f(x)=3sin25x+φ,
∵过(4π,-3),∴-3=3sin8π5+φ,
∴8π5+φ=2kπ-π2,∴φ=2kπ-21π10,
∵φ<π2,∴φ=-π10,∴f(x)=3sin25x-π10.
(2)由2kπ+π2≤25x-π10≤2kπ+3π2得,
5kπ+3π2≤x≤5kπ+4π (k∈Z),
∴函数f(x)的单调减区间为5kπ+3π2,5kπ+4π (k∈Z).
函数f(x)的最大值为3,取到最大值时x的集合为
{xx=5kπ+3π2,k∈Z}.
(3)解法一:f(x)=3sin2x5-π10
=3cosπ2-2x5-π10=3cos2x5-3π5
=3cos25x-3π2,
故至少须左移3π2个单位才能使所对应函数为偶函数.
解法二:f(x)=3sin2x5-π10的图象的对称轴方程为25x-π10=kπ+π2,∴x=5kπ2+3π2,当k=0时,x=3π2,k=-1时,x=-π,故至少左移3π2个单位.
解法三:函数f(x)在原点右边第一个最大值点为2x5-π10=π2,∴x=3π2,把该点左移到y轴上,需平移3π2个单位.
解法四:观察图象可知,欲使函数图象左移后为偶函数,由其周期为5π可知,须把π4,0点变为-5π4,0或把点(4π,-3)变为5π2,-3等,可知应左移3π2个单位


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