宝安中学2014届上学期期末测试高三数学（理）满分150分，考试时间为120分钟一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则虚数的虚部是 （A） （B） （C）－ （D）2.已知为实数，且. 则“”是“”的 （A）充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件 （C）充要条件 （D） 既不充分也不必要条件3.已知是等差数列,若,则数列的公差等于4．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7有以下四种变换方式：①向左平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；②向右平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；③每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平行移动个单位长度；④每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平行移动个单位长度．其中能将函数的图象变为函数的图象是（ ）（A）①和④（B）①和③（C）②和④（D）②和③上存在点满足约束条件， 则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D）7.如图，与都是正三角形，且,,若，则 （A）3 （B）-3 （C） （D）8.设是定义在上的偶函数,且当时, .若对任意的,不等式恒成立,则实数的是 (B) (C) (D) 2二.填空题：9-13小题为必做题，14-15两题为选做题，每小题5分，共30分.9. 在中,则的取值范围是________.10．在的展开式中，常数项为_____．(用数字作答)已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是 12. 已知关于的不等式的解集为 ，则关于的不等式的解集为 13.设分别表示不大于的最大整数，如.则集合表示的平面区域的面积为 .选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,射线与曲线:的异于极点的交点为,与曲线:的异于极点的交点为,则______.15. (几何证明选讲选做题)如图，中，，圆O经过B、CAB、ACD、E.若AE=EC=，则圆O的半径r=________.?三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16. （12分）已知函数，.（Ⅰ）设是函数图象的一条对称轴，求的值；（Ⅱ）求函数的值域.17.（12分）学校团委组织部分同学用“10分制”随机调查“灵芝”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．18.（14分）如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD?D,AB//CD,AB=AD=CD=2,点M在线段EC上(I)当点M为EC中点时，求证:BM//平面 ADEF(II)求证:平面BDE?平面BEC(III)若平面BDM与平面ABF所成二面角为锐角,且该二面角的余弦值为时，求三棱锥M-BDE的体积. }的前项和＝－（为正整数）． （1）求数列{}的通项公式；（2）令＝＋＋…＋，求数列{}的前项和．（3）记. 证明：20.（14分）已知中心在原点的椭圆经过点,且是它的一个焦点.抛物线的顶点在原点，焦点为,过点作直线交抛物线于M,N两点，在M,N两点处的切线分别是，且.(1).求椭圆的方程及它的准线方程（2）探究点能否在椭圆上，若能，求出它的坐标，若不能说明理由。（3）利用定积分的知识求椭圆的面积21．（14分）（1）当时，求函数的极小值；（2）当时，过坐标原点O作曲线的切线，设切点为，求实数m的值；（3）设定义在D上的函数在点处的切线方程为当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“转点”。当时，试问函数 是否存在“转点”，若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由。宝安中学2014届上学期期末高三数学（理）试题参考答案一.题号12345678答案CBCDADBC二. 9. 10．135 11． 12. . 13. 5. 14. . 15. .三. 16解：（Ⅰ）由题知，因为是函数图象的一条对称轴，所以，即， ……………3分故，当为偶数时，，当为奇数时，； …………6分（Ⅱ）由题知所以的值域为. …………12分17.（12分）解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75 ； ………3分（Ⅱ）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则 ； ………………7分[来]的可能取值为0，1，2，3. ；；； .的分布列为：0123P所以. ……………12分另解：的可能取值为0，1，2，3.高..考.资., 则，. 所以． 18.（14分）解：中点，连结．在△中，分别为的中点，则∥，且．由已知∥，，因此，∥，且．所以，四边形为平行四边形． 于是，∥．又因为平面，且平面，所以∥平面． （2）证明 在正方形中，．又平面平面，平面平面，知平面．所以．在直角梯形中，，，算得．在△中，，可得．故平面．又因为平面，所以，平面平面． （3）按如图建立空间直角坐标系，点与坐标原点重合.设，则，又设，则即.设是平面的法向量，则,.取得即的一个法向量为. 由题，是平面的一个法向量，即点为中点此时，，为三棱锥的高，. 19．(3) 只需证明数列为递增数列，20.（14分）解：（1）由题意知，椭圆是焦点在y轴上标准方程的椭圆， 椭圆的方程为，准线方程为（2）抛物线的方程为，设 即同理： , 即P点在直线上 即, 直线与椭圆没有公共点，所以点不能在椭圆上。（3）椭圆在第一象限部分的面积 等于圆心在原点半径为的圆在第一象限部分的面积，所以椭圆的面积为21．（14分）时，，当时当时，当时所以当时取到极小值所以切线的斜率整理得显然是这个方程的解,又因为在上是增函数所以方程有唯一实数解故(3)解：当时，函数在其图象上一点处的切线方程为 设则 若在)上单调递减所以当时，此时若在，x0)上单调递减所以当时，此时所以在上不存若，∴即在上是增函数, 当时，当时 即点故函数存在且是的横坐标- 6 -俯视图侧视图正视图2222s＜100MyONlxF1F2MyONlxF1F2广东省深圳市宝安中学2014届高三上学期期末考试数学(理)试题
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