2015年福州市高中毕业班质量检测理科数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={(x,y)y=lgx},B={(x,y)x=a},若A∩B=,则实数a的取值范围是( ). A. a0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线对称,,则该双曲线的离心为 ( ).A. B. C. D.2 9.若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)=f(x), f(2－x)=f(x),且当x∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数H(x)= xex－f(x)在区间[－3,1]上的零点个数为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.210.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d为常数)的取值范围是( ).A. B. C. D.(5,25)第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.5名同学排成一列某个同学不排排头的排法种数为 用数字作答.12.如图所示在边长为1的正方形OABC中任取一点M则点M恰好取自阴影部分的概率为 . 13. 若直线与圆相交于A、B两点,则的值为 .14.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的表面积为 . 15.已知函数 ,若数列满足且的前项和为则= .三、解答题:本大题共六个小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分13分甲乙10件,测量该产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图:甲　乙 80　3 4 6 81 2 4 7 8 8 90 2 4 5 62 0 0 1 2规定当15毫克时为优质品.(Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数);(Ⅱ)从乙抽出的上述10件产品中随机抽取3件求抽到的3件产品中品数的分布列及数学期望17. （13分）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；（Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且若向量与向量共线，求的值.18. （本小题满分13分）如图，直角梯形中，=4，、分别是、的点，上，沿将梯形翻折，使平面⊥平面．（Ⅰ）当时，求证：⊥；（Ⅱ）当时，求二面角的余弦值.19.（13分）已知动圆C过定点(1,0),且与直线x=－1相切.和,①当=时,求证直线AB恒过一定点M;②若为定值,直线AB,若存在,试求出定点的坐标 若不存在,请说明理由20. （14分），其中且（Ⅰ）的单调区间；（Ⅱ）的图像恒在函数图像的上方，求的取值范围;（Ⅲ）若存在，，使得，求证：.21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分（分）4-2：矩阵与变换.已知矩阵,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为,属于特征值1的一个特征向量（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵; （Ⅱ）计算A的值. （2）（分）坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C,直线l的参数方程为:,两曲线相交于M,N两点.（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;（Ⅱ）若P(－2,－4),求PM+PN的值．（分）4-5：不等式选讲 设函数f(x)=x－4+x－3,（Ⅰ）求f(x)的最小值m（Ⅱ）当a+2b+3c=m(a,b,c∈R)时,求a2+b2+c2的最小值.—10 DABCA DCBBD11.96 12. 13.0 14.18+ cm2 15.804216. 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为 乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为………………4分 (II)的取值为1，2，3. ………………5分………………7分………………9分………………11分 所以的分布列为 1 2 3 ………………12分故………………13分 17. 解:(I)==……………2分 令，解得即…………4分,f(x)的递增区间为 ………………6分 (Ⅱ)由,得而,所以,所以得因为向量与向量共线，所以，由正弦定理得:　　　　 ①……………10分由余弦定理得:,即a2+b2－ab=9　②………12分由①②解得……………13分18. 解Ⅰ)证明：∵点、分别是、的中点∴EF//BC 又∴AE⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE， 又BE⊥EF，如图建立空间坐标系E?xyz．……………2分翻折前连结AC交EF于点G,此时点G使得最小.EG=BC=2又∵EA=EB=2．则A0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0),∴=(?22,2),=(-2,-2,0)∴=(?22,2)(-2,-2,0)=0，∴⊥………………分Ⅱ)解法一：设EG=k∥平面点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离. [(3- k)+4]×2=7-k=又=,,=,即EG=1…………………分设平面DBG的法向量为∵G(0,1,0),∴(－22,2), 则 即 取x＝1则y＝2z＝1,∴ …………………10分 面BCG的一个法向量为 则cos= …………………1分由于所求二面角D-BF-C的平面角为锐角所以此二面角平面角的余弦值为 ……………………13分Ⅱ)解法二由解法一得EG=1过点D作DHEF垂足H过点H作BG延长线的垂线垂足O，连接OD. ∵平面AEFD⊥平面EBCF DH平面EBCF，ODOB所以就是所求的二面角的平面角. …………9分由于HG=1,在OHG中,又DH=2，在DOH中…………11分所以此二面角平面角的余弦值为.…………13分19. 解: (Ⅰ)设动圆圆心M(x,y),点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=－1为准线的抛物线………分其方程为y2=4x.- …………分Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得x1≠x2(否则)且x1x2≠0,则所以直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b,则将y=kx+b与y2=4x联立消去x,得ky2－4y+4b=0由韦达定理得-------※…………分①当=时,所以,…………所以y1y2=16,又由※知:y1y2=所以b=4k;因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k,所以直线AB恒过定点(－4,0). …………②当为定值时.若=,由①知,直线AB恒过定点M(－4,0) …………当时,由,得==将※式代入上式整理化简可得:,所以,…………此时,直线AB的方程可表示为y=kx+,所以直线AB恒过定点…………所以当时,直线AB恒过定点(－4,0).,当时直线AB恒过定点.…………I)f(x)的定义域为.其导数………1分①当时,,函数在上是增函数;…………2分②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,．所以在是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………4分(II)当时, 取，则, 不合题意.当时令,则………6分问题化为求恒成立时的取值范围. 由于 ………7分在区间上,;在区间上,.的最小值为,所以只需即,,………9分(Ⅲ)由于当时函数在上是增函数,不满足题意,所以构造函数:()………11分则所以函数在区间上为减函数. ,则,于是,又,,由在上为减函数可知.即…………………14分21. (1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换: (Ⅰ)法一:依题意,.. ………… 2分所以…………4分法二:的两个根为6和1,故d=4,c=2. …………2分所以-…………4分(Ⅱ)法一:=2－…………5分A3=2×63－13=…………7分法二:A3=…………7分 (2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程.解:(Ⅰ)(曲线C的直角坐标方程为y2=4x, 直线l的普通方程x－y－2=0. ………..4分(Ⅱ)直线的参数方程为(t为参数),代入y2=4x, 得到,设M,N对应的参数分别为t1,t2则所以PM+PN=t1+t2=…………7分(3) )(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲 解:(Ⅰ)法1: f(x)=x－4+x－3≥(x－4)－(x－3)=1,故函数f(x)的最小值为1. m=1. …………4分 法2:.------------------1分x≥4时,f(x)≥1;x1,3≤x
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