数学Ⅰ卷
参考公式：
样本数据 的标准差 ，其中 ．
一、题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．若集合 ， ，则 ＝ ▲ ．
2．设i是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 的值为 ▲ ．
3．已知样本 的平均数是 ，且 ，则此样本的标准差是 ▲ ．
4．在集合 中任取一个元素，
所取元素恰好满足方程 的概率是 ▲ ．
5．已知双曲线与椭圆 有相同的焦点，且它们的
离心率互为倒数，则该双曲线的方程为 ▲ ．
6．已知某算法的伪代码如右，根据伪代码，若函数
7． 在 上有且只有两个零点，则实数
的取值范围是 ▲ ．
7．已知 ，则 ▲ ．
8．有一个正四面体的棱长为 ，现用一张圆形的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为 ▲ ．
9．过点 的直线将圆 分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则该直线的方程为 ▲ ．
10．已知数列 的前 项和 ，且 的最大值为8，则
▲ ．
11．已知中心为 的正方形 的边长为2，点 分别为线段 上的两个不同点，且 ，则 的取值范围是 ▲ ．
12．在数列 中，已知 ， ，当 时， 是 的个位数，
则 ▲ ．
13．已知 ，若实数 满足 ，则 的最小值是 ▲ ．
14．设曲线 在点 处的切线为 ，曲线 在点 处的切线为 ．若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
设 的内角 所对的边分别为 ．已知 ， ， ．
⑴求边 的长；
⑵求 的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是平行四边形，且 ， ， ， 分别是 ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，垂足为 ，求证： ．
17．（本小题满分14分）
某人 年底花 万元买了一套住房，其中首付 万元， 万元采用商业贷款．贷款的月利率为 ‰，按复利计算，每月等额还贷一次， 年还清，并从贷款后的次月开始还贷．
⑴这个人每月应还贷多少元？
⑵为了抑制高房价，国家出台“国五条”，要求卖房时按照差额的20%缴税．如果这个人现在将住房 万元卖出，并且差额税由卖房人承担，问：卖房人将获利约多少元？ （参考数据： ）
18．（本小题满分16分）
已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为 ，且椭圆 上的点到点 距离的最小值为2．
⑴求椭圆 的方程；
⑵设椭圆 的左、右顶点分别为 ，过点 的直线 与椭圆 及直线 分别相交于点 ．
（?）当过 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；
（?）若 ，求 的面积．
19．（本小题满分16分）
已知数列 ，其前 项和为 ．
⑴若对任意的 ， 组成公差为 的等差数列，且 ， ，求 的值；
⑵若数列 是公比为 的等比数列， 为常数，求证：数列 为等比数列的充要条件为 ．
20．（本小题满分16分）
已知函数 ， ， ．
⑴求函数 的单调区间；
⑵记函数 ，当 时， 在 上有且只有一个极值点，求实 数 的取值范围；
⑶记函数 ，证明：存在一条过原点的直线 与 的图象有两个切点．
徐州市2013年高考考前信息卷
数学Ⅱ（附加题）
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图， 的半径 垂直于直径 ， 为 上一点， 的延长线交 于点 ， 过 点的切线交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为 ， ，
求 长．
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
设 ， ，试求曲线 在矩阵 变换下的曲线方程．
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知点 为圆 上任一点．求点 到直线 的距离的最小值与最大值．
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知 为正数，且满足 ，求证： ．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22．过直线 上的动点 作抛物线 的两切线 ， 为切点．
（1）若切线 的斜率分别为 ，求证： 为定值；
（2）求证：直线 过定点．
23．已知 ．
⑴求 及 ；
⑵试比较 与 的大小，并说明理由．
徐州市2013年高考考前信息卷
数学Ⅰ参考答案与评分标准
一、题：1． 2．3 3． 4． 5． 6． 7．
8． 9． 10． 11． 12． 13．9 14．
二、解答题:
15．⑴由 ，得 ．………………………………………………2分
因为 ， ，所以 ，…………………………………………………4分
所以 ，
所以 ．…………………………………………………………………………… 7分
⑵因为 ， ，
所以 ，…………………………………9分
所以 ，……………………………………………………11分
因为 ，所以 ，故 为锐角，所以 ，
所以 . …………14分
16．（1）取 的中点 ，连结 ， ，
因为 是 的中点，所以 ， ，
又因为 是 中点，所以 ，
因为四边形 是平行四边形；
所以 ，所以 ,
所以四边形 是平行四边形，…………4分
所以 ．因为 平面 ，
平面 ，
所以 平面 ．……………………6分
（2）因为 平面 , 平面 ,
所以 ，又因为 , ,
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ． ……………………………9分
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，……………………12分
又 ， 是 中点，所以 ，……………………………………13分
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．……………………………………………………14分
17．⑴设每月应还贷 元，共付款 次，则有
，…………4分
所以 （元）．………………………………6分
答：每月应还贷 元．………………………………………………………………7分
⑵卖房人共付给银行 元，
利息 （元），………………………………………………10分
缴纳差额税 （元），………………………………12分
（元）．
答：卖房人将获利约 元．………………………………………………………14分
18．⑴由已知， ，且 ，所以 ， ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ．………………………………………………………3分
⑵（?）由⑴， ， ，设 ．
设圆的方程为 ，将点 的坐标代入，得
解得 ……………………………………………6分
所以圆的方程为 ，
即 ，
因为 ，当且仅当 时，圆的半径最小，
故所求圆的方程为 ．………………………………………9分
（?）由对称性不妨设直线 的方程为 ．
由 得 ，……………………………………………11分
所以 ， ，
所以 ，
化简，得 ，…………………………………………………………14分
解得 ，或 ，即 ，或 ，
此时总有 ，所以 的面积为 ．…………………………16分
19．⑴因为 成公差为 的等差数列，
所以 ，……………………………………………2分
所以 是公差为 的等差数列，且
， ……………………………4分
又因为 ，所以
，
所以 ，所以 ．……………………………………………6分
⑵因为 ，所以 ， ①
所以 ， ②
②－①，得 ， ③ ……………………………8分
（?）充分性：因为 ，所以 ，代入③式，得
，因为 ，又 ，
所以 ， ，所以 为等比数列，……………………………………12分
（?）必要性：设 的公比为 ，则由③得 ，
整理得 ，……………………………………………14分
此式为关于n的恒等式，若 ，则左边 ，右边 ，矛盾；
，当且仅当 时成立，所以 ．
由（?）、（?）可知，数列 为等比数列的充要条件为 ．…………………16分
20．（1）因为 ，
①若 ，则 ， 在 上为增函数，…………………………2分
②若 ，令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ．
所以 为单调减区间， 为单调增区间．
综上可得，当 时， 为单调增区间，
当 时， 为单调减区间， 为单调增区间． ……………4分
（2） 时， ，
， ……………………………………………………5分
在 上有且只有一个极值点，即 在 上有且只有一个根且不为重根，
由 得 ， ………………………………………………………6分
（i） ， ，满足题意；…………………………………………………………7分
（ii） 时， ，即 ；………………………………………8分
（iii） 时， ，得 ，故 ；
综上得： 在 上有且只有一个极值点时， ． ……………………………9分
注：本题也可分离变量求得．
（3）证明：由（1）可知：
（i）若 ，则 ， 在 上为单调增函数，
所以直线 与 的图象不可能有两个切点，不合题意．……………………10分
（?）若 ， 在 处取得极值 ．
若 ， 时，由图象知不可能有两个切点．…………………………11分
故 ，设 图象与 轴的两个交点的横坐标为 （不妨设 ），
则直线 与 的图象有两个切点即为直线 与 和 的切点．
， ，
设切点分别为 ，则 ，且
， ， ，
即 ， ①
， ②
，③
①-②得： ，
由③中的 代入上式可得： ，
即 ， ……………………………………………………………14分
令 ，则 ，令 ，因为 ， ，
故存在 ，使得 ，
即存在一条过原点的直线 与 的图象有两个切点．……………………16分
徐州市2013年高考考前信息卷
数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准
21．
A．（1）连结ON．因为PN切⊙O于N，所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 ．
因为 于O，所以 ，
所以 ，所以 ．
所以 ．……………………5分
（2） ， ， ．
因为 ，
所以 ．…………………………………………………………………………10分
B． ，…………………………………………………4分
设 是曲线 上的任意一点，在矩阵 变换下对应的点为 ．
则 ，所以 即 ……………………………………8分
代入 ，得 ，即 ．
即曲线 在矩阵 变换下的曲线方程为 ．……………………10分
C．圆 的普通方程为 ，……………………… 2分
直线 的普通方程为 ，…………………………… 4分
设点 ，
则点 到直线 的距离 ，
…………………………………………………………………………………………8分
所以 ； ．………………………………………………10分
D．由柯西不等式，得
．…………………………………………………………10分
22．（1）设过 作抛物线 的切线的斜率为 ，则切线的方程为 ，
与方程 联立，消去 ，得 .
因为直线与抛物线相切，所以 ，
即 . 由题意知，此方程两根为 ，
所以 (定值). ……………………………………………………………………4分
（2）设 ，由 ，得 .
所以在 点处的切线斜率为： ，因此，切线方程为： .
由 ，化简可得， .
同理，得在点 处的切线方程为 .
因为两切线的交点为 ，故 , .
所以 两点在直线 上，即直线 的方程为： .
当 时, ，所以直线 经过定点 .……………………………………10分
23．⑴令 ，则 ，令 ，则 ，所以 ．……2分
⑵要比较 与 的大小，只要比较 与 的大小．
当 时， ；当 或 时， ，
当 或 时， ，
猜想：当 时， ．下面用数学归纳法证明：…………………4分
①由上述过程可知，当 时，结论成立．…………………………………………5分
②假设当 时结论成立，即 ，
两边同乘以 ，得 ，
而
，
所以 ，
即 时结论也成立．
由①②可知，当 时， 成立．……………………………………9分
综上所述，当 时， ；当 或 时， ；
当 时， ．………………………………………………………10分
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