石家庄一中2015级高二级部第一学期开学考试数学试卷试卷Ⅰ一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．1．已知集合，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ C ）A． B． C． D．2．在下列命题中，不是公理的是（ A ）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（ D ）A． B． C． D．4．过点且与直线平行的直线方程是（ D ）A． B． C． D． 5．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ B ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则6．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ B ）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位7．等比数列，，，的第四项等于（ A ）A． B． C． D．8．在中，角A、B、C所对的边分别为、、，若，则的形状为( B )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定9．（ C ）A． B． C． D．10．已知点、、、，则向量在方向上的投影为（ A ）A． B． C． D．11．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则、、的大小关系是（ D ）A． B． C． D．12．设函数（，为自然对数的底数）．若存在使成立，则的取值范围是（ B ）A． B． C． D．试卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内．13．，则 *** ．设变量满足，若直线经过该可行域，则的最大值为已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，则球的为，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 ．【解析】由题意得，，，…，，∵，且＞0，∴，易得==…====，∴+=+=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本题10分）被两直线和截得线段的中点为，求直线的方程．17解：设所求直线与两直线分别交于，则， ……………4分又因为点分别在直线上，则得，即解得，所求直线即为直线，所以为所求．……………10分18．（本题12分）已知函数，．(Ⅰ)求的值(Ⅱ)若，，求解：(Ⅰ)……………4分(Ⅱ)……………6分因为，，所以，…………所以， …所以……………12分19．（本题12分），，且与满足，其中实数．（Ⅰ）试用表示；（Ⅱ）求的最小值，并求此时与的夹角的值．解：（I）因为，所以，，……3分，． …………6分（Ⅱ）由（1），…………9分当且仅当，即时取等号． …………10分此时，，，，所以的最小值为，此时与的夹角为 …………12分20．（本题12分）函数，若存在，使，则称是的一个不动点函数（）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（）在（）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值．解：（）∵函数恒有两个相异的不动点，∴恒有两个不等的实根，对恒成立，∴，得的取值范围为．……………（）由得，由题知，，……………设中点为，则的横坐标为，……………∴ ，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为．……………21．（本小题满分12分）如图几何体中四边形为菱形，，面∥面、、都垂直于面且为的中点为的中点(Ⅰ)求证为等腰直角三角形(Ⅱ)求二面角的余弦值．解:()连接，交于，因为四边形为菱形，，所以因为、都垂直于面，，又面∥面，所以四边形为平行四边形，则因为、、都垂直于面，则 所以所以为等腰直角三角形……………6分(Ⅱ)取的中点，因为分别为的中点，所以∥以分别为轴建立坐标系则 所以 设面的法向量为，则，即且 令，则………8分设面的法向量为，则即且令，则则……………10分，二面角的余弦值为……………12分22．（本题12分）的前项和为，且，设．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）设，，若数列的前项和为，求不超过的最大的整数值．22解：（Ⅰ）因为，所以 ①当时，，则，……………………1分②当时，，所以，即，所以，而，……………………3分所以数列是首项为，公比为的等比数列．……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以，．……………6分所以 ①，②，②-①得：，．………………8分（Ⅲ）由(1)知 ，………10分所以故 不超过的最大整数为．…………………………河北省石家庄市第一中学2015-2016学年高二上学期开学考试 数学理试题
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