2015～2014学年度第一学期期中考试高数学试题(考试时间：120分钟 总分160分) 命题人： 审题人：注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应答题线上．），，则 ▲ ．”的否定是 ▲ ．函数的域为．函数的值域为． ▲ ．，则 ▲ ．满足，若，则 ▲ ．前项和为，若，则 ▲ ．设是定义在上的奇函数,当时, (为自然对数的底数),则的值为．集合，，，若，则实数的取值范围是 ▲ ．（其中）有两个相等的实根，则 的最小值为 ▲ ．，若，则的取值范围是 ▲ ．表示正整数的个位数，例如，，则数列的前项和等于 ▲ ．是直线上三点，是直线外一点，，，，则＝ ▲ ．二、解答题：（6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分），，其中．(Ⅰ)若，且，求的值；(Ⅱ)若，求的值．16．（本题满分14分）表示的平面区域为A．(Ⅰ)画出平面区域A，并求面积；(Ⅱ)点在平面区域内，求的取值范围；(Ⅲ)一次函数的图像平分区域A的面积，求．17．（本题满分1分）已知等差数列中，．(Ⅰ)求数列的前项和的最小值；(Ⅱ)求数列的前项和．[]18．（本题满分1分） .(Ⅰ)若，(i)求曲线在点处的切线方程，(ii)求在区间上的最大值；(Ⅱ)若当时，恒成立，求实数的取值范围.[]19．（本题满分16分）和互补，且AB=BC．(Ⅰ)设AB=x米，cosA=,求的解析式，并指出x的取值范围；求四边形ABCD面积的最大值．20．(本题满分16分) 的三边长分别为，面积为，已知，.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)求证：无论取何正整数，恒为定值；(Ⅲ)判断函数的单调性，并加以说明.2015～2014学年度第一学期期中考试高数学试题(考试时间：分钟 总分分) 命题人： 审题人：注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．(本题分分)有两个零点1,2，且在轴上的截距为3.(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)求函数在区间[0,3]上的值域.B．在等比数列中.(Ⅰ)已知，求；(Ⅱ)已知，求.22．(本题分)设平面向量,若存在实数和角,其中，使向量,且.求的关系式;若,求的最小值,并求出此时的值.(本题分).(Ⅰ)若函数在区间上有极值，求实数的取值范围；(Ⅱ)若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；(Ⅲ)当，时，求证：.2015～2014学年度第一学期期中考试高数学一、填空题：1. 2. 3. 4. 5. 1 6. 7. 8 8.3 9. 10. 11. 12 . 13.2 14. 二、解答题15.解：(Ⅰ)∵，∴，----------------2分∴，∴，----------------------4分而，∴，∴，即，------6分又，所以，---------------------------7分(Ⅱ)----------------------10分 ∴，即 ∴-------------------------14分16.解：(Ⅰ)不等式表示直线及直线下方的平面区域；不等式表示直线及直线上方的平面区域；不等式表示直线及直线左侧的平面区域。所以，这三个平面区域的公共部分，就是原不等式组所表示的平面区域。 -------------------------2分 由图像可得：--------------------------4分(Ⅱ)将目标函数变形为，平移直线，当它经过时截距最大为12；当它经过时截距最小为0.所以的取值范围是------8分(Ⅲ)的图像经过区域A时，，------------------9分 当时，，∴------11分 当时，，∴（舍）----13分 ∴---------------------------------------------14分17. 解：（Ⅰ）a1 = ?19，5a5 = 11a8，5(a1+4d) = 11(a1+7d)，5a1+20d = 11a1 + 77d， ∴6a1 = ?57d，即6×(?19) = ?57×d，∴d = 2---------------2分∴an = ?19 + (n-1)×2= 2n ? 21--------------------------3分当an＜0时，2n＜21，n＜，即当n≤10时，an＜0，当n＞11时，an＞0∴Sn最小值为S10-------------------------------------6分[]S10 = 10×(?19)+ = ?100----------------------------7分（Ⅱ）∵a10＜0，a11＞0 当n≤10时，Tn = ?a1?a2……?an= ?Sn =?n2+20n------------------10分 当n≥11时，Tn = ?a1?a2……?a10+a11+a12+……+an= Sn?2S10= n2?20n+200----13分?n2+20n n≤10∴Tn = --------------------------14分 n2?20n+200 n≥1118. （Ⅰ）（i）f '(x) = 3x2?2ax，f '(1) = 3?2a = 3，∴a = 0，∴y=x3-------------------2分f(1)=1，f ' (x) = 3x2，f ' (1) = 3，∴切点（1，1），斜率为3，y = 3x?2------------4分（ii）f(x) = x3，f ' (x) = 3x2≥0，∴f(x)在[0，2]，∴f(x)最大值=f(2)=8-----------8分（Ⅱ）x3?ax2+x≥0对x∈[0，2]恒成立，∴ax2≤x3+x-------------------10分 当x = 0时成立---------------------------------------12分 当x∈（0，2]时a≤x+，∵x+≥2，在x=1处取最小值--------15分∴a≤2---------------------------------------16分19. 解：(Ⅰ)在△ABD中，由余弦定理得。同理，在△CBD中，----3分因为∠A和∠C互补。所以==．---5分即．解得，即，其中．------- ------------------8分(Ⅱ)四边形ABCD的面积 ．------11分记，．由，解得：． ------------------------------------14分函数在区间（2，4）内单调递增，在区间（4，5）内单调递减因此的最大值为．所以S的最大值为．答：所求四边形ABCD面积的最大值为．---------------------------- 16分20. （Ⅰ）an+1 = an，∴a1=4，∴an=4，∴bn+1=，----- 2分∴，∴b1?c1=5?3=2，∴{bn?cn}为等比，∴bn?cn = -------------------- --------------------------------4分（Ⅱ）∵bn+1 =，cn+1=，∴bn+1+ cn+1 = ----------------6分 bn+1+ cn+1?8==，而b1+c1?8=5+3?8=0，∴bn+cn?8=0∴bn+cn=8------------------- --------------------------------8分（Ⅲ）法一：an = 4bn?cn =，∴bn = 4+，cn =4?--------------10分bn+cn=8 令m = ，则an = 4，bn = 4+m，cn = 4?m，∴cosA = ∴sinA = --------------------------------------12分f(n) = SABC == = -------------------------14分当n增大时，减小，增大，∴f(n) 递增-------------------16分法二：∵BnCn = 4 AnBn+AnCn=8∴An落在以Bn、Cn为焦点的椭圆上------------10分∵bn?cn=当n增大时， bn?cn 减小，即An点在向椭圆短轴端点靠近，即BnCn边上的高在增大，则f(n)=在增大------------14分∴f(n)递增----------------------------------------16分姜堰区2015～201学年度第一学期期高数学21 A.解：（Ⅰ）设f(x)=a(x?1)(x?2)， f(0)=a?2=3，∴a=∴f(x) =(x?1)(x?2) ---------------------------------5分（Ⅱ）f(x)=(x2?3x+2)，当x=时，f(x)=，当x=0或3时 f(x)=3∴值域为[，3] ---------------------------------10分B解：（Ⅰ）a1 = 3，a6 = 96，q5 = 32，q = 2，∴S5 ==3×31=93 ---------------------------------5分（Ⅱ）∵a1 =1，an = 81，∴q≠1，∴qn-1 = 81，∴Sn ==121∴1?81q=121?121q，∴40q=120，∴q=3------------------10分22.解: (Ⅰ)∵,且，∴ ∴-----------------------5分 (Ⅱ)设,又∵，∴，则 令得(舍去) ∴时,时,∴时,即时， 为极小值也是最小值,最小值为.--------------------10分23. 解：(Ⅰ)，∴ ∴当时，；当时，；∴函数在区间（0，1）上为增函数；在区间为减函数[]∴当时，函数取得极大值，而函数在区间有极值.∴，解得. ----------------------3分(Ⅱ)由（Ⅰ）得的极大值为，令，所以当时，函数取得最小值，又因为方程有实数解，那么，即，所以实数的取值范围是：. ----------6分(Ⅲ)函数在区间为减函数，而，∴∴，即 ------8分即，而，∴结论成立. ----------------------10分300lABCPxyo44江苏省泰州市姜堰区2015届高三上学期期中考试数学试题
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