石家庄一中2015级高二级部第一学期开学考试数学试卷试卷Ⅰ一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．1．已知集合，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ C ）A． B． C． D．2．在下列命题中，不是公理的是（ A ）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（ D ）A． B． C． D．4．过点且与直线平行的直线方程是（ D ）A． B． C． D． 5．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ B ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则6．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ B ）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位7．等比数列，，，的第四项等于（ A ）A． B． C． D．8．在中，角A、B、C所对的边分别为、、，若，则的形状为( B )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定9．（ C ）A． B． C． D．10．已知点、、、，则向量在方向上的投影为（ A ）A． B． C． D．11．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则、、的大小关系是（ D ）A． B． C． D．12．设函数（，为自然对数的底数）．若存在使成立，则的取值范围是（ B ）A． B． C． D．试卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内．13．，则 *** ．设变量满足，若直线经过该可行域，则的最大值为已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，则球的为，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 ．【解析】由题意得，，，…，，∵，且＞0，∴，易得==…====，∴+=+=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本题10分）(Ⅰ)的方程为，根据下列条件分别确定的值． ①轴上的截距是； ②的倾斜角为；(Ⅱ)求经过直线，的交点，并且与直线垂直的直线方程．17解：(Ⅰ)代入方程整理得：， 解得：（舍去） 所以，．………………………………………3分（2）②由已知得：， 整理得：，解得：（舍去） 所以，．………………………………………………6分(Ⅱ)设所求直线为，斜率为，设，交点为．由已知，解得，∴ 点坐标为．设直线斜率为，则，∵ 它与所求直线垂直，∴ ，解得：．代入直线方程的点斜式得：………………10分18．（本题12分）已知函数，．(Ⅰ)求的值(Ⅱ)若，，求解：(Ⅰ)……………4分(Ⅱ)……………6分因为，，所以，…………所以， …所以……………12分19．（本题12分）如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.(1) 证明://平面;(2) 证明:平面;(3) 当时,求三棱锥的体积. 【答案】(1)在等边三角形中, ,在折叠后的三棱锥中也成立, ,平面,平面,平面; (2)在等边三角形中,是的中点,所以①,. 在三棱锥中,,② ; (3)由(1)可知,结合(2)可得. ．（本题12分）设为数列{}的前项和,已知,2,N(Ⅰ)求,并求数列{}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前项和.【答案】解: (Ⅰ) …………………2分………………………………5分(Ⅱ) …………………7分上式左右错位相减: . …………………10分21．（本小题满分12分）19.（本题12分），，且与满足，其中实数．（Ⅰ）试用表示；（Ⅱ）求的最小值，并求此时与的夹角的值．解：（I）因为，所以，，……3分，． …………6分（Ⅱ）由（1），…………9分当且仅当，即时取等号． …………10分此时，，，，所以的最小值为，此时与的夹角为 …………12分22．（本题12分）函数，若存在，使，则称是的一个不动点函数（）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（）在（）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值．解：（）∵函数恒有两个相异的不动点，∴恒有两个不等的实根，对恒成立，∴，得的取值范围为．……………（）由得，由题知，，……………设中点为，则的横坐标为，……………∴ ，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为．……………！第1页 共16页学优高考网！！河北省石家庄市第一中学2015-2016学年高二上学期开学考试 数学文试题
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